Эксперимент Кавендиша

Вертикальный разрез крутильных весов (рисунок 1 из статьи Кавендиша) с защищающей их конструкцией GGGG.

Эксперимент Кавендиша — опыт, проведённый между 1797 и 1798 годами британским ученым Генри Кавендишем с целью определения средней плотности Земли, что впоследствии позволило вычислить её массу из радиуса Земли, определить массы Луны, Солнца и остальных планет Солнечной системы. Значение универсальной гравитационной постоянной также было определено по плотности Земли.

Кавендиш усовершенствовал устройство, названное крутильными весами, разработанное примерно в 1783 году Джоном Мичеллом, который умер, не сумев завершить эксперимент. Результат, полученный Кавендишем, заключался в том, что средняя плотность Земли составляла 5,437 г/см³, что всего на 1,4 % ниже принятого ныне значения 5,515 г/см³.

Предыстория

Вулкан Чимборасо в Республике Эквадор.

Отклонение отвеса в районе горы

Одна из первых попыток определения плотности суши была предпринята профессором гидрографии Гавра французом Пьером Бугером во время геодезической миссии в Перу (в 1735—1739 годы. Бугер провел несколько экспериментов, чтобы определить взаимосвязь между плотностью вулканв Чимборасо и средней плотностью Земли, на основании отклонения от вертикали в отвесе вблизи этой большой горы. Исаак Ньютон ранее рассматривал проведение эксперимента как практическую демонстрацию своей теории гравитации в своих «Началах», но в конце концов отверг эту идею. Результаты Бугера были не очень хорошими, так как одно измерение давало плотность Земли в четыре раза больше плотности горы, а другое в двенадцать раз больше.

Гора Шихаллион

Второй эксперимент по определению плотности Земли — это эксперимент Шихаллона середины 1774 года. В 1772 году комитет учёных из Лондонского королевского общества, в который входили Королевский астроном, преподобный Невил Маскелайн, Генри Кавендиш, Бенджамин Франклин, Дэйнс Баррингтон и преподобный Сэмюэл Хорсли, был убежден, что они могут определить притяжение горы по отклонению отвеса, и летом 1773 года астроному Чарльзу Мейсону было поручено выбрать гору. Мейсон выбрал шотландскую гору Шихаллион в графстве Пертшир из- за её симметрии и изолированности. Эксперимент проводил Маскелин, а данные обрабатывал Чарльз Хаттон. Окончательные результаты показали, что плотность Земли соответствует 4500 г/см³, что на 20 % ниже принятого в настоящее время значения 5,515 г/см³.

Примерно в 1768 году преподобный Джон Мичелл, британский физик и геолог, также спроектировал и построил крутильные весы с целью определения средней плотности Земли. Этот прибор был похож на тот, который разработал француз Шарль Огюстен де Кулон, который использовал его для измерения небольших притяжений и отталкиваний электрических харядов в 1784 году. Мичелл, похоже, не знал о работе Кулона, когда разрабатывал свои крутильные весы. Однако он умер, так и не сумев завершить свой эксперимент, а построенный им инструмент унаследовал преподобный Фрэнсис Джон Хайд Волластон, профессор натурфилософии Кембриджского университета и член семьи, посвятившей себя науке. Он передал его Генри Кавендишу, оба были членами Королевского общества.

Определение плотности Земли было важно в то время по нескольким причинам:

1. Оно бы усилило ньютоновскую физику, соединив принцип всемирного тяготения, объединивший небесную и земную механику с геологией.
2. В области геологии, в конце XVIII века возникла полемика между двумя представлениями о внутреннем составе Земли: нептунианской теорией немца Авраама Готлоба Вернера, считавшего океан, воду, ответственными за образование минерального царства, и плутоновской теорией шотландца Джеймса Геттона, который приписывает основные земные геологические образования внутреннему теплу Земли. Следовательно, определение средней земной плотности позволило бы выяснить твёрдость или текучесть недр планеты.
3. Плотность Земли позволяла вычислить её массу, а это требовалось в астрономии восемнадцатого века, поскольку когда-то известные массы Луны, Солнца и остальных планет Солнечной системы можно было опеределить из это значения.

Эксперимент

Генри Кавендиш

Генри Кавендиш начал свои эксперименты летом 1797 года, в возрасте 67 лет, в саду своего дома в Клэфэм-Коммон, ныне жилом районе на юге Лондона, где он поместил крутильные весы внутри комнаты здания размером 17,7×7.9 м. Первый эксперимент он провёл 5 августа 1797 года, а до 23 сентября провёл ещё семь опытов. Семь месяцев спустя, между 29 апреля и 30 мая 1798 года, он сделал ещё девять, последние два с помощью своего секретаря Джорджа Гилпина.

Обычно можно найти много книг, в которых ошибочно утверждается, что целью Кавендиша было определение гравитационной постоянной ${\textstyle G}$, и об этой ошибке сообщали несколько авторов. На самом деле единственной целью Кавендиша было определение плотности Земли, что он называл «взвешиванием мира». Гравитационная постоянная не фигурирует в оригинальной статье Кавендиша 1798 года «Эксперименты по определению плотности Земли» (англ. Experiments to Determine the Density of the Earth) и нет никаких указаний на то, что он рассматривал это как экспериментальную цель. Одно из первых упоминаний о ${\textstyle G}$, написано ${\textstyle f}$, появляется в 1844 году в 4-м издании книги Николя Дегена Cours élémentaire de Physique, но без написания полной формулы закона Ньютона. Впервые эта полная формула была написана в 1873 году в мемуарах Мари-Альфреда Корню и Жана-Батистина Байля «Новое определение постоянной притяжения и средней плотности Земли» (фр. Détermination nouvelle de la constante de l'attraction et de la densité moyenne de la Terre):

$$F=f\cdot {\frac {m\cdot m'}{r^{2}}}\,.$$

Крутильные весы

Вид сверху на крутильные весы (рисунок 2 статьи Кавендиша). Схема горизонтального рычага с двумя маленькими сферами b и большими сферами в двух разных положениях (WW и ww).

Торсионный баланс Мичелла, перестроенный и улучшенный Кавендишем, состоял из:

Горизонтальная деревянная ручка незначительной массы и длиной 183 см (6 футов) была подвешена на проволоке длиной 102 см (40 дюймов) прямо посередине. На каждом конце ручки находилась небольшая свинцовая сфера диаметром 5,08 см (2 дюйма) с массой 0,73 кг (b на рисунках). Всё заключено в ящик из красного дерева, АААА, для предотвращения сквозняков и перепадов температуры, с небольшими отверстиями на торцах, закрытыми стеклом, что позволяло наблюдать за положением этих сфер. Небольшая сила позволяла этому горизонтальному рычагу вращаться вокруг оси вращения, отмеченной проволокой, если она была достаточно тонкой.

Рядом с каждой из вышеупомянутых сфер b у Кавендиша была ещё одна неподвижная сфера, также сделанная из свинца, но гораздо более тяжелая, 158 кг (20,3 см или 8 дюймов в диаметре). Они указаны на рисунках в двух разных позициях, WW и ww. Чтобы разместить их очень близко к маленьким сферам, Кавендиш разработал механизм, который активирует их перемещение на расстоянии, чтобы избежать помех, отмечено как ММ. Гравитационное действие этих сфер должно было притягивать маленькие сферы на ручке, производя небольшое закручивание проволоки.

Деталь крутильных весов (рисунок 1 статьи Кавендиша). W — толстая сфера, x — маленькая сфера. Деревянный ящик, закрывающий ручку, — это ABCD. n представляет собой апертуру, через которую можно наблюдать градуированную шкалу h.

Чтобы измерить отклонение малых сфер, Кавендиш расположил градуированные шкалы из слоновой кости внутри деревянного ящика, защищающего руку, расположенного рядом с маленькими сферами и освещенного лучом света «снаружи». Шкала имела отдельные деления 0,13 см (1/20 дюйма). На конце рычага находился небольшой кусочек слоновой кости, выполнявший роль шкалы нониуса и разделявший деления шкалы на 5 частей, то есть величиной 0,25 мм. Следует отметить, что на многих схемах крутильных весов, встречающихся в литературе, указано, что несущий трос имел зеркало, позволяющее наблюдать за производимым отклонением. Эта система является усовершенствованием, сделанным после эксперимента Кавендиша другими исследователями. Кавендиш измерил отклонение прямо на шкале возле маленьких сфер.

Для предотвращения возмущений, вызванных сквозняками и колебаниями температуры, Кавендиш поместил весы в закрытом помещении, на рисунке обозначенном вершинами GGGG. Большие сферы можно было перемещать из другой соседней комнаты с помощью механизма, обозначенного PRR, активируемого в точке m. И он мог также измерить небольшое кручение весов с помощью телескопа, отмеченного буквой Т, чтобы наблюдать отклонения на шкале из слоновой кости, освещённой светом от свечей, отмеченной буквой l.

Этот баланс был удивительно разумным для своего времени. Сила кручения, создаваемая притяжением шаров, была очень мала, 1,74 · 10⁻⁷ Н, что примерно равно 24 · 10⁻⁹ веса маленьких шаров. Эквивалентно силе, необходимой для удержания 0,0155 мг вещества. При подъёме песчинки диаметром 1 мм требуется усилие, примерно в 90 раз превышающее силу, измеренную по шкале Кавендиша.

Метод Кавендиша

Один конец современных крутильных весов, предназначенных для демонстрации эксперимента Кавендиша.

Метод Кавендиша, используемый для расчёта плотности Земли, заключался в измерении периода колебаний горизонтального плеча, которое колеблется при приближении к большой сфере и удалении.

Когда большие сферы приближаются на небольшое расстояние (9 дюймов или 22,9 см) от маленьких сфер, то сила гравитационного притяжения становится чувствительной и ручка с маленькими сферами начинает вращаться в сторону больших сфер. По мере приближения малых сфер к более крупным сила притяжения увеличивается, так как она обратно пропорциональна расстоянию между их центрами, $F\propto 1/r^{2}\,$. В то же время это вызывает скручивание проволоки, поддерживающей ручку, и возвращающую силу, противодействующую скручиванию. Эта рекуперативная сила увеличивается по мере приближения маленьких сфер к большим, поскольку она пропорциональна углу вращения (закон Гука), пока не сравняется с силой, которая их притягивает. В это время силы уравновешиваются, но ручка с маленькими сферами обладает определённой скоростью (инерцией), что заставляет её продолжать движение в том же направлении. Однако сила возврата, противодействующая движению, возрастает больше, чем сила гравитационного притяжения, и успевает остановить движение ручки. Таким образом, маленькие сферы останавливаются и меняют направление своего движения. Когда они снова проходят через положение равновесия, их скорость не равна нулю, что заставляет их продолжать движение. Сила кручения теперь действует в том же направлении, что и гравитационное притяжение, тормозя обе ручки, и движение сфер медленно останавливается. Затем сферы начинают двигаться в противоположном направлении. То есть происходит колебательное движение, подобное движению простого маятника.

Период колебаний, измеренный Кавендишем, составил около 14 минут, что даёт представление о медленном движении руки. Кавендиш измерил время трёх полных колебаний, а затем определил период, разделив общее время на количество колебаний. Можно показать, что период связан с силой тяжести и силой восстановления проволоки. Колебание затухает и его амплитуда, не превышающая 2 см, несколько уменьшается при каждом колебании, хотя это и не влияет на не зависящий от него период. Чтобы полностью прекратить колебательное движение, потребовалось много часов, но вскоре Кавендиш изменил положение больших сфер на другой стороне и сумел реактивировать колебания и провести новые измерения.

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что масса M притягивает другую массу m с силой F, пропорциональной произведению M · m и обратно пропорциональной квадрату расстояния r, разделяющего их.

Определив период этих малых колебаний, можно вычислить силу гравитационного притяжения малого шара со стороны большого шара известной массы М и сравнить её с силой притяжения такого же малого шара к Земле. Таким образом, Земля может быть описана как в N раз более массивная, чем толстая сфера. Все это основано на теории всемирного тяготения Исаака Ньютона, согласно которой сила притяжения пропорциональна произведению масс M и m и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними

$F\propto {\frac {M\cdot m}{r^{2}}}\,.$

После того как были произведены расчёты и сделан ряд поправок, результат, полученный Кавендишем, состоял в том, что средняя плотность Земли в 5,448 раз превышала плотность воды при температуре от 19°С до 21°С (0,998 г/см³). Это величина отличается всего на 1,4 % от принятого в настоящее время значения, что в 5,526 раз больше плотности воды, или 5,515 г/см³.

Математическая формулировка

Схема крутильных весов. Маленькие сферы помещаются на ручку, подвешенную на проволоке. Большие сферы неподвижны и создают притяжение к маленьким, вращая ручку. Проволока противодействует этому повороту с измеримой силой.

Определения терминов, используемых в формулах, приведены в подписи в конце этого раздела.

Приведённый вывод формулы, которой пользовался Кавендиш, не тот, которому он следовал, поскольку в то время не существовало определения единства силы и рассуждения велись сравнениями. Однако формулы, которыми он пользовался, при методе определения колебаний малых шаров получаются.

Момент силы $\tau$, по определению является произведением силы на расстояние, отделяющее точку её приложения от оси вращения. Это соответствует произведению гравитационного притяжения между двумя сферами F и расстояния между каждой маленькой сферой и осью вращения ручки, несущей две маленькие сферы, L/2 . Так как имеются две пары сфер (2 большие и 2 маленькие) и каждая пара создаёт силу на расстоянии L/2 от оси весов, то момент силы равен 2·F·L/2 = F·L. В крутильных маятниках, как и в крутильных весах, момент силы $\tau$, пропорционален углу поворота $\theta$ баланса, константой пропорциональности является коэффициент кручения, $\kappa$, это $\tau =\kappa \cdot \theta$. Таким образом, приравнивая обе формулы, получается следующее выражение:

$\kappa \cdot \theta \ =L\cdot F\qquad \qquad \qquad (1)\,$

Сила гравитационного притяжения F между маленькой сферой массы m и большой сферой массы M, расстояние между центрами которых равно r, определяется выражением закона всемирного тяготения Исаака Ньютона:

CAVENDISH, H. Experiments to Determine the Density of the Earth. Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1 Gener 1798, 88:469-526

$F=G\cdot {\frac {m\cdot M}{r^{2}}}\,$

Подставив это выражение для F в уравнение (1), получается

$\kappa \cdot \theta \ =L\cdot G\cdot {\frac {m\cdot M}{r^{2}}}\qquad \qquad \qquad (2)\,$

Для определения коэффициента крутящего момента $\kappa \,$, проволоки, можно измерить собственный период колебаний T крутильных весов, который задаётся на основе момента инерции, I, и коэффициента кручения $\kappa$, согласно выражению:

$T=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {I/\kappa }}\qquad \qquad \qquad (3)\,$

Учитывая, что масса деревянной ручки пренебрежимо мала по сравнению с массами маленьких сфер, момент инерции весов обусловлен только двумя маленькими сферами и справедлив:

$I=m\cdot (L/2)^{2}+m\cdot (L/2)^{2}\,$$I=2\cdot m\cdot (L/2)^{2}=m\cdot L^{2}/2\,$

что выражение (3) можно заменить и период получится следующим:

$T=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {\frac {m\cdot L^{2}}{2\cdot \kappa }}}\,$

Выражая $\kappa$ через

$\kappa ={\frac {2\cdot \pi ^{2}\cdot m\cdot L^{2}}{T^{2}}}$

Тогда выражение (2) можно заменить и переставить, выделив константу G:

$G={\frac {2\cdot \pi ^{2}\cdot L\cdot r^{2}}{M\cdot T^{2}}}\cdot \theta \qquad \qquad \qquad (4)\,$

Притяжение, оказываемое Землёй на массу m (массу маленьких сфер), находящуюся вблизи её поверхности, то есть на вес, составляет:

$m\cdot g=G\cdot {\frac {m\cdot M_{Terra}}{R_{Terra}^{2}}}\,$

И, выделив массу Земли, получается выражение

$M_{Terra}={\frac {g\cdot R_{Terra}^{2}}{G}}\,$

Подставляя значение G из периода колебаний, получаем массу Земли

$M_{Terra}={\frac {g\cdot R_{Terra}^{2}}{{\frac {2\cdot \pi ^{2}\cdot L\cdot r^{2}}{M\cdot T^{2}}}\cdot \theta }}={\frac {g\cdot R_{Terra}^{2}\cdot M\cdot T^{2}}{2\cdot \pi ^{2}\cdot L\cdot r^{2}\cdot \theta }}\,$

Плотность Земли, $\rho _{Terra}$, это отношение между его массой, $M_{Terra}$, а его объём — объём шара:

$\rho _{Terra}={\frac {M_{Terra}}{{\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot R_{Terra}^{3}}}\,$

Легенда

Символ	Единицы	Определение
$\theta \,$	${\mbox{radians}}\,$	Угловое отклонение положения малых сфер относительно их положения равновесия
$F\,$	${\mbox{N}}\,$	Гравитационная сила между массами M im
$G\,$	${\mbox{m}}^{3}{\mbox{kg}}^{-1}{\mbox{s}}^{-2}\,$	Гравитационная постоянная
$m\,$	${\mbox{kg}}\,$	Масса маленьких сфер
$M\,$	${\mbox{kg}}\,$	Масса больших сфер
$r\,$	${\mbox{m}}\,$	Расстояние между центрами малых и больших сфер
$L\,$	${\mbox{m}}\,$	Длина между центрами двух маленьких сфер
$\kappa \,$	${\mbox{N}}\,{\mbox{m}}\,{\mbox{radian}}^{-1}\,$	Коэффициент кручения проволоки
$I\,$	${\mbox{kg}}\,{\mbox{m}}^{2}\,$	Момент инерции плеча
$T\,$	${\mbox{s}}\,$	Период колебаний руки
$g\,$	${\mbox{m}}\,{\mbox{s}}^{-2}\,$	Ускорение силы тяжести на поверхности Земли
$M_{Terra}\,$	${\mbox{kg}}\,$	Масса Земли
$R_{Terra}\,$	${\mbox{m}}\,$	радиус Земли
$\rho _{Terra}\,$	${\mbox{kg}}\,{\mbox{m}}^{-3}\,$	Плотность Земли

Последующие эксперименты

Определение постоянной G на крутильных весах
Автор	Метод	Г · 10 −11 </br> (Н·м 2 /кг 2)
Кавендиш, 1798 г.	Отклонение	6754
Мальчики, 1895 г.	Отклонение	6658
Браун, 1897 г.	Период и отклонение	6658
Хейл, 1930 г.	Период с золотом	6678
	Платиновый период	6664
	Период со стеклом	6674
Хейл и Хшановски, 1942 год.	Период	6676
	Период	6668
Лютер и Таулер, 1982 г.	Период	6,6726

После эксперимента Кавендиша другие ученые повторили эксперимент с той же сборкой, внеся улучшения. С середины 19 века и далее проводились опыты с целью определения гравитационной постоянной ${\textstyle G}$, а не плотность Земли. Эти эксперименты имели следующие особенности:

• Немец Фердинанд Райх повторил измерение плотности Земли с помощью весов, очень похожих на те, которыми пользовался Кавендиш, и получил новые значения средней плотности Земли, ρ = 5,49 г/см³ в 1837 году и ρ = 5,58 г/см³ в 1852 году.
• Фрэнсис Бейли повторил эксперимент с крутильными весами и в 1842 году получил значение ρ = 5,67 г/см³.
• Французы Мари Альфред Корню и Баптистин БайлиЖан-Батистин Байе нашли в 1873 г. значения ρ в пределах от 5,50 до 5,56 г/см³.
• В 1895 году Чарльз Вернон Бойз модифицировал оригинальный инструмент Мичелла и Кавендиша, уменьшив его до 1/18 части, заменив торсионную проволоку, первоначально сделанную из железа, тонкими кварцевыми волокнами диаметром 0,002 мм. Это нововведение позволяет использовать меньшие массы золота (m = 2,7 г, M = 7,5 кг) и меньшее расстояние 15 см при лучшем контроле температурных колебаний и отклонений от уклона земли. Он также разделяет положение пар сфер на 6 дюймов по вертикали, чтобы уменьшить влияние толстой сферы другой пары, и имеет зеркало на плече, отражающее луч света, что позволило определить с помощью телескопа малый угол отклонения. Его измерения дали значение ρ = 5,527 г/см³.
• В 1897 году немецкий физик Карл Фердинанд Браун усовершенствовал крутильные весы, поместив их в контейнер, откуда он откачивал воздух, избегая таким образом сквозняков, влияющих на колебания. Он также использовал новый метод. Он расположил большие массы на одной линии с малыми массами ручки, а затем изменил их расположение на 90°, способ, названный периодом колебаний. В положениях с четырьмя выровненными сферами гравитационное притяжение сокращает период колебаний и удлиняет массы в скрещенных, более удалённых положениях. У него получилось значение ρ = 5,527 г/см³, как и у Бойза.
• Метод Брауна также был использован в 1930 году Паулем Ренно Хейлом с различными материалами (золото, платина и стекло) и получил среднее значение плотности Земли ρ = 5,517 г/см³. Он повторил эксперимент в 1942 году вместе с Петером Хшановски, и получили значение ρ = 5,514 г/см³, проводя эксперимент с разными проволоками. Наконец, Габриэль Г. Лютер и Уильям Р. Таулер в 1982 г. использовали вольфрамовые сферы массой 10,5 кг и получили очень точное значение.

Литература

• Chen, Y. T. Gravitational experiments in the laboratory. — New York : Cambridge University Press, 2005. — ISBN 9780521675536.
• Shamos, Morris. Great experiments in physics : firsthand accounts from Galileo to Einstein. — New York : Dover Publications, 1987. — ISBN 9780486139623.
• Speake, C.C (2005). "Newton's constant and the twenty-first century laboratory". Phil. Trans. R. Soc. A. 363 (1834): 2265—2287. doi:10.1098/rsta.2005.1643.
• Boys, C. Vernon (1894). "On the Newtonian constant of gravitation". Nature. 50 (1292): 330—4. Bibcode:1894Natur..50..330.. doi:10.1038/050330a0. Дата обращения: 30 декабря 2013.
• The Laws of Gravitation. Онлайн-копия статьи Кавендиша 1798 года и другие ранние измерения гравитационной постоянной.
• Clotfelter, B. E. (1987). "The Cavendish experiment as Cavendish knew it". American Journal of Physics. 55 (3): 210—213. Bibcode:1987AmJPh..55..210C. doi:10.1119/1.15214. Establishes that Cavendish didn’t determine G.
• Falconer, Isobel (1999). "Henry Cavendish: the man and the measurement". Measurement Science and Technology. 10 (6): 470—477. Bibcode:1999MeScT..10..470F. doi:10.1088/0957-0233/10/6/310.
• http://books.google.cat/books?id=DgTALFa3sa4C&pg=PA385. {{cite encyclopedia}}: |title= пропущен или пуст (справка)
• Hodges, Laurent The Michell-Cavendish Experiment, faculty website, Iowa State Univ.  (неопр.) Дата обращения: 30 декабря 2013. Discusses Michell’s contributions, and whether Cavendish determined G.
• Lally, Sean P. (1999). "Henry Cavendish and the Density of the Earth". The Physics Teacher. 37 (1): 34—37. Bibcode:1999PhTea..37...34L. doi:10.1119/1.880145.
• Jungnickel, Christa. Cavendish. — Philadelphia, Pa : American Philosophical Society, 1996. — ISBN 0871692201.
• Poynting, John Henry. The Mean Density of the Earth. — 1894. Review of gravity measurements since 1740.

Внешнии ссылкаи

• Кавендишский опыт
• Боковая гравитация в подвале, The Citizen Scientist, 1 июля 2005 г. Самодельный эксперимент Кавендиша, показывающий расчет результатов и необходимые меры предосторожности для устранения ошибок из-за электростатических зарядов и ветра.
• «Большая буква G», Центр физики. Эксперимент в университете Вашингтона для измерения «G» с использованием варианта метода Кавендиша.
• «Споры по поводу гравитационной постоянной Ньютона», EOT-Wash Group, Univ. Вашингтона,
• Масштабная модель кручения Кавендиша, Музей науки, Лондон.
• Взвешивание Земли — предыстория и эксперимент