Точки Наполеона

В геометрии точки Наполеона — это пара специальных точек на плоскости треугольника. Есть общее мнение, что существование этих точек обнаружил Наполеон, император Франции с 1804 по 1815, но имеется большое сомнение в этом . Точки Наполеона относятся к замечательным точкам треугольника и они перечислены в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга как точки X(17) и X(18).

Название "точки Наполеона" применяется также к различным парам центров треугольника, более известных как изодинамические точки.

Определение точек

Первая точка Наполеона

Первая точка Наполеона

Пусть ABC — любой треугольник на плоскости. На сторонах BC, CA, AB треугольника строим внешние правильные треугольники DBC, ECA и FAB соответственно. Пусть центроиды этих треугольников — X, Y и Z соответственно. Тогда прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке, и эта точка N1 является первой (или внешней) точкой Наполеона треугольника ABC.

Треугольник XYZ называется внешним треугольником Наполеона треугольника ABC. Теорема Наполеона утверждает, что этот треугольник является правильным.

В энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга первая точка Наполеона обозначена как X(17).

• Трилинейные координаты точки N1:

${\begin{aligned}&\left(\csc \left(A+{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(B+{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(C+{\frac {\pi }{6}}\right)\right)\\&=\left(\sec \left(A-{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(B-{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(C-{\frac {\pi }{3}}\right)\right)\end{aligned}}$

• Барицентрические координаты точки N1:

$\left(a\csc \left(A+{\frac {\pi }{6}}\right),b\csc \left(B+{\frac {\pi }{6}}\right),c\csc \left(C+{\frac {\pi }{6}}\right)\right)$

Вторая точка Наполеона

Вторая точка Наполеона

Пусть ABC — любой треугольник на плоскости. На сторонах BC, CA, AB треугольника строим внутренние равносторонние треугольники DBC, ECA и FAB соответственно. Пусть X, Y и Z — центроиды этих треугольников соответственно. Тогда прямые AX, BY а CZ пересекаются в одной точке, и эта точка N2 является второй (или внутреннней) точкой Наполеона треугольника ABC.

Треугольник XYZ называется внутренним треугольником Наполеона треугольника ABC. Теорема Наполеона утверждает, что этот треугольник является правильным.

В энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга вторая точка Наполеона обозначена как X(18).

• Трилинейные координаты точки N2:

${\begin{aligned}&\left(\csc \left(A-{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(B-{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(C-{\frac {\pi }{6}}\right)\right)\\&=\left(\sec \left(A+{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(B+{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(C+{\frac {\pi }{3}}\right)\right)\end{aligned}}$

• Барицентрические координаты точки N2:

$\left(a\csc \left(A-{\frac {\pi }{6}}\right),b\csc \left(B-{\frac {\pi }{6}}\right),c\csc \left(C-{\frac {\pi }{6}}\right)\right)$

Две точки, тесно связанные с точками Наполеона — это точки Ферма (X13 и X14 в энциклопедии точек). Если вместо прямых, соединяющих центроиды равносторонних треугольников с соответствующими вершинами, провести прямые, соединяющие вершины равносторонних треугольников с соответствующими вершинами исходного треугольника, так построенные три прямые будут пересекаться в одной точке. Точки пересечения называются точками Ферма и обозначаются как F1 и F2. Пересечение прямой Ферма (т.е. прямой, соединяющей две точки Ферма) и прямой Наполеона (т.е. прямой, соединяющей две точки Наполеона) является симедианой треугольника (точка X6 в энциклопедии центров).

Обобщения

Результат о существовании точек Наполеона может быть обобщён различным образом. При определении точек Наполеона мы использовали равносторонние треугольники, построенные на сторонах треугольника ABC, а затем выбирали центры X, Y и Z этих треугольников. Эти центры можно рассматривать как вершины равнобедренных треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC с углом при основании π/6 (30 градусов). Обобщения рассматривают другие треугольники, которые, будучи построенными на сторонах треугольника ABC, имеют аналогичные свойства, то есть прямые, соединяющие вершины построенных треугольников с соответствующими вершинами исходного треугольника, пересекаются в одной точке.

Равнобедренные треугольники

Точка на гиперболе Киперта.

Гипербола Киперта треугольника ABC. Гипербола проходит через вершины (A,B,C), ортоцентр (O) и центроид (G) треугольника.

Это обобщение утвеждает:

Если три треугольника XBC, YCA и ZAB построены на сторонах треугольника ABC, являются подобными, равнобедренными с основаниями на сторонах исходного треугольника, и одинаково расположенными (то есть все построены с внешней стороны, либо все построены с внутренней стороны), то прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке N.

Если общий угол при основании равен $\theta$, то вершины трёх треугольников имеют следующие трилинейные координаты.

• $X(-\sin \theta ,\sin(C+\theta ),\sin(B+\theta ))$
• $Y(\sin(C+\theta ),-\sin \theta ,\sin(A+\theta ))$
• $Z(\sin(B+\theta ),\sin(A+\theta ),-\sin \theta )$

Трилинейные координаты точки N

$(\csc(A+\theta ),\csc(B+\theta ),\csc(C+\theta ))$

Несколько частных случаев.

Значение $\theta$	Точка $N$
0	G, центроид треугольника ABC
π /2 ( или, – π /2 )	O, ортоцентр треугольника ABC
π /4 ( или, – π /4 )	Точки Вектена
π /6	N1, первая точка Наполеона (X17)
– π /6	N2, вторая точка Наполеона (X18)
π /3	F1, первая точка Ферма (X13)
– π /3	F2, вторая точка Ферма (X14)
– A ( если A < π /2 ) π – A ( если A > π /2 )	Вершина A
– B ( если B < π /2 ) π – B ( если B > π /2 )	Вершина B
– C ( если C < π /2 ) π – C ( если C > π /2 )	Вершина C

Более того, геометрическое место точек N при изменении угла при основании треугольников $\theta$ между -π/2 и π/2 является гиперболой

${\frac {\sin(B-C)}{x}}+{\frac {\sin(C-A)}{y}}+{\frac {\sin(A-B)}{z}}=0.$

Эта гипербола называется гиперболой Киперта ( в честь немецкого математика Людвига Киперта, 1846–1934, открывшего её ). Эта гипербола является единственным коническим сечением, проходящим через точки A, B, C, G и O.

Подобные треугольники

Обобщение точки Наполеона — частный случай

Чтобы три прямые AX, BY и CZ пересекались в одной точке, треугольники XBC, YCA и ZAB, построенные на сторонах треугольника ABC, не обязательно должны быть равнобедеренными.

Если подобные треугольники XBC, AYC и ABZ построены с внешних сторон на сторонах произвольного треугольника ABC, то прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке.

Произвольные треугольники

Прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке даже при более слабых условиях. Следующее условие является одним из наиболее общих условий, чтобы прямые AX, BY и CZ пересекались в одной точке.

Если треугольники XBC, YCA и ZAB построены с внешней стороны на сторонах треугольника ABC так, что

∠CBX = ∠ABZ, ∠ACY = ∠BCX, ∠BAZ = ∠CAY,

то прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке.

Обобщение точки Наполеона

Об открытии точек Наполеона

Коксетер и Грейтцер формулируют теорему Наполеона следующим образом: Если равносторонние треугольники построены с внешней стороны на сторонах любого треугольника, то их центры образуют равносторонний треугольник. Они замечают, что Наполеон Бонапарт был немного математиком и имел большой интерес к геометрии, однако они сомневаются, что он был достаточно геометрически образован, чтобы открыть теорему, приписываемую ему .

Наиболее ранние сведения о теореме появились в статье журнала «The Ladies' Diary» (Женский дневник) в 1825. Журнал был ежегодным периодическим изданием и издавался с 1704 по 1841. Теорема входила в ответ на вопрос, посланный У. Резенфордом, однако в этой публикации Наполеон не упоминается

Хростофер Скриба (Christoph J. Scriba), немецкий историк математики, описал историю приписывания точек Наполеону в журнале Historia Mathematica.

Смотрите также

• Замечательные точки треугольника
• Теорема Наполеона
• Задача Наполеона
• Теорема Ван-Обеля
• Точка Ферма

Литература

• J. F. Rigby. {{{заглавие}}} // Journal of Geometry. — 1988. — Т. 33, вып. 1–2. — С. 129–146. — doi:10.1007/BF01230612.
• The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle // Mathematics Magazine. — 1994. — Т. 67 June, вып. 3. — doi:10.2307/2690610.
• Michael de Villiers. Some Adventures in Euclidean Geometry. — Dynamic Mathematics Learning, 2009. — ISBN 9780557102952.
• H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Geometry Revisited. — Mathematical Association of America, 1967. Перевод: Г.С.М. Коксетер, С.Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. — Москва: «Наука», 1978. — (Библиотека математического кружка).
• Christoph J Scriba. Wie kommt 'Napoleons Satz' zu seinem namen? // Historia Mathematica. — 1981. — Т. 8

doi=10.1016/0315-0860(81)90054-9, вып. 4.

Литература для дальнейшего чтения

• Stachel, Hellmuth (2002). "Napoleon's Theorem and Generalizations Through Linear Maps" (PDF). Contributions to Algebra and Geometry. 43 (2): 433—444. Дата обращения: 25 апреля 2012.
• Grünbaum, Branko (2001). "A relative of "Napoleon's theorem"" (PDF). Geombinatorics. 10: 116—121. Дата обращения: 25 апреля 2012.
• Katrien Vandermeulen, et al. Napoleon, a mathematician ?  (неопр.) Maths for Europe. Дата обращения: 25 апреля 2012.
• Bogomolny, Alexander Napoleon's Theorem  (неопр.). Cut The Knot! An interactive column using Java applets. Дата обращения: 25 апреля 2012.
• Napoleon's Thm and the Napoleon Points  (неопр.). Дата обращения: 24 апреля 2012.
• Weisstein, Eric W. Napoleon Points  (неопр.). From MathWorld—A Wolfram Web Resource. Дата обращения: 24 апреля 2012.
• Philip LaFleur Napoleon’s Theorem  (неопр.). Дата обращения: 24 апреля 2012.
• Wetzel, John E. Converses of Napoleon's Theorem  (неопр.) (апрель 1992). Дата обращения: 24 апреля 2012.