Подобие

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Подобие — преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек A, B и их образов A', B' имеет место соотношение |A'B'|=k|AB|, где k — положительное число, называемое коэффициентом подобия.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Каждая гомотетия является подобием.
  • Каждое движение (в том числе и тождественное) также можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом k=1.
Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета.

Связанные определения[править | править исходный текст]

Свойства[править | править исходный текст]

  • Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя.
  • Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка B лежит между точками A, C и B', A', C' — соответствующие их образы при некотором подобии, то B' также лежит между точками A' и C'.
  • Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.
  • Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
  • При подобии угол сохраняет величину.
  • Подобие с коэффициентом k\not=1, преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом k или -k.
    • Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения D и некоторой гомотетии \Gamma с положительным коэффициентом.
    • Подобие называется собственным (несобственным), если движение D является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.
  • Два треугольника являются подобными, если
  • Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров (или радиусов).

Обобщения[править | править исходный текст]

Аналогично определяется подобие (с сохранением указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом пространстве, а также в n-мерном евклидовом и псевдоевклидовом пространствах.

В метрических пространствах так же, как в n-мерных римановых, псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.

Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет r-членную группу преобразований Ли, называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов r-членная группа подобных преобразований Ли содержит (r-1)-членную нормальную подгруппу движений.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]