Задача одной плитки

Задача айнштайна задаёт вопрос о существовании одной мозаичной плитки, которая образует непериодическое множество плиток, то есть, фигуры, которая может замостить пространство, но только непериодичным способом. Такие фигуры называют "айнштайнами" — игра немецких слов, ein stein, означающих один камень (фамилия Альберта Эйнштейна на немецком записывается именно как Einstein). В зависимости от конкретного определения непериодичности, а именно, какие множества можно считать плитками и как их можно соединять, проблему можно считать открытой или решённой. Задачу айнштайна можно рассматривать как естественное расширение второй части восемнадцатой проблемы Гильберта, в которой задаётся вопрос о единственном многограннике, который может заполнить евклидово 3-мерное пространство, но так, чтобы никакое заполнение этой плиткой не было изоэдральным . Такие неизоэдральные тела были найдены Карлом Райнхардом в 1928, но эти тела заполняют пространство периодически.

Предложенное решение

Плитка Соколара –Тейлора является предложенным решением задачи айнштайна.

В 1988 Петер Шмитт обнаружил непериодическую (единичную) мозаичную плитку в 3-мерном евклидовом пространстве. Хотя никакое заполнение этим телом не позволяет параллельный перенос, некоторые заполнения имеют винтовую симметрию. Операция винтовой симметрии вовлекает комбинацию параллельного переноса и вращения на угол, равным π с иррациональным коэффициентом, так что никакое число повторений этих операций не приведут к простому параллельному переносу. Эта конструкция была позднее расширена Джоном Конвеем и Людвигом Данцером до выпуклой непериодической плитки, Плитка Шмитта—Конвея—Данцера. Наличие винтовой симметрии явилось следствием требования непериодичности . Хаим Гудман-Штраусс предложил считать мозаики строго апериодичными, если для них нет никакой бесконечной циклической группы движений евклидова пространства в качестве группы симметрии, и называть строго апериодичными только те наборы плиток, которые приводят к апериодичным мозаикам, остальные наборы плиток тогда называются слабо апериодичными .

В 1996 Петра Гумельт построил десятиугольную плитку с рисунком и показал, что при разрешении двух типов перекрытия пар плиток они заполняют плоскость исключительно апериодично . Обычно под мозаикой понимается заполнение без перекрытия, так что плитку Гуммельта нельзя считать апериодической протоплиткой. Аперидическое множество плиток на евклидовой плоскости, которое состоит только из одной плитки – плитки Соколара – Тейлора – было предложено в начале 2010-х годов Джошуа Соколаром и Джоаном Тейлором . Эта конструкция требует правил соединения, правил, ограничивающих относительную ориентацию двух плиток и правил соединения рисунков на плитках, и эти правила применяются к парам несмежных плиток. Можно использовать плитки без рисунков и без правил ориентации, но тогда плитки не будут связными. Построение можно распространить на трёхмерное пространство с использованием связных плиток и без правил соединения, но эти плитки могут быть выложены с периодичностью в одном направлении, так что это лишь слабо непериодическая мозаика. Более того, плитки не односвязны.

Существование строго апериодических множеств, состоящих из одной связной плитки без правил соединения остаётся нерешённой проблемой.

Примечания

• Petra Gummelt. Penrose Tilings as Coverings of Congruent Decagons // Geometriae Dedicata. — 1996. — Т. 62, вып. 1. — doi:10.1007/BF00239998.
• Marjorie Senechal. Quasicrystals and Geometry. — corrected paperback. — Cambridge University Press, 1996. — ISBN 0-521-57541-9.
• Charles Radin. Aperiodic tilings in higher dimensions // Proceedings of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1995. — Т. 123, вып. 11. — doi:10.2307/2161105. — .
• Open Questions in Tiling. Архив: http://web.archive.org/web/20070418084956/http://comp.uark.edu/~strauss/papers/survey.pdf
• Joshua E. S. Socolar, Joan M. Taylor. An Aperiodic Hexagonal Tile // Journal of Combinatorial Theory, Series A. — 2011. — Т. 118. — doi:10.1016/j.jcta.2011.05.001. — arXiv:1003.4279.