Циклическая группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

В теории групп группа $(G, \cdot)$ называется циклической, если она порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число). Математическое обозначение: $G = \langle a \rangle$ .

Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени $g n$ будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению ( $\mathbb{Z}, +$ ).

[править] Свойства

Все циклические группы абелевы.
Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе — со сложением по модулю n (её также обозначают ), а каждая бесконечная — изоморфна , группе целых чисел по сложению.
- В частности, для каждого числа существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа такого порядка.
Каждая подгруппа циклической группы циклична.
У циклической группы порядка n существует ровно φ(n) порождающих элементов, где φ — функция Эйлера
Если p — простое число, то любая группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа).
Прямое произведение двух циклических групп порядков n и m циклично тогда и только тогда, когда n и m взаимно просты.
- Например, $\mathbb{Z}_{12}$ изоморфна $\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4$ , но не изоморфна $\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_2$ .
Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа $\mathbb{Z}_{p^n}$ , где p — простое число, или $\mathbb{Z}$ .
Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).
Кольцо эндоморфизмов группы $\mathbb{Z}_n$ изоморфно кольцу $\mathbb{Z}_n$ . При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм $\mathbb{Z}_n$ , который сопоставляет элементу сумму r его экземпляров. Такое отображение будет биекцией, если и только если r взаимно просто с n, так что группа автоморфизмов $\mathbb{Z}_n$ изоморфна $\mathbb{Z}_n {}^{\times}$ .

[править] Примеры

Группа корней из единицы степени n по умножению.
Группа Галуа любого конечного расширения конечного поля конечна и циклична; обратно, если дано конечное поле F и конечная циклическая группа G, существует конечное расширение F группой Галуа которого будет G.

[править] Доказательства

Утверждение. Каждая подгруппа циклической группы циклична.

Доказательство. Пусть $G$ - циклическая группа и $H$ - подгруппа группы $G$ . Если группа $G$ тривиальна (состоит из одного элемента), то $H = G$ и $H$ циклична. Если $H$ - тривиальная подгруппа (состоит из единичного элемента или совпадает со всей группой G), то $H$ циклична. Далее в ходе доказательства будем считать, что $G$ и $H$ не являются тривиальными.

Пусть $g$ - образующий элемент группы $G$ , а $n$ - наименьшее положительное целое число, такое что $g^n \in H$ . Утверждение: $H=\langle g^n \rangle$

$\langle g^n \rangle \subseteq H$: ${\forall a \in \langle g^n \rangle} \, {\exists z \in \mathbb{Z}} \mid {a=(g^n)^z}$; $g^n \in H \Rightarrow (g^n)^z \in H \Rightarrow a \in H$; Следовательно, $\langle g^n \rangle \subseteq H$ .
$H \subseteq \langle g^n \rangle$: Пусть $h \in H$ .; $h \in H \Rightarrow h \in G \Rightarrow \exists x \in {\mathbb{Z}} \mid h=g^x$ .; Согласно алгоритму деления с остатком $\exists q,r \in {\mathbb{Z}} \mid 0 \le r \le n \and x=qn+r$; $h=g^x=g^{qn+r}=g^{qn}g^r=(g^n)^qg^r \Rightarrow g^r=h(g^n)^{-q}$ .; $h,g^n \in H \Rightarrow g^r \in H$ .; Исходя из того, каким образом мы выбрали $n$ и того, что $0 \le r \le n$ , делаем вывод, что $r = 0$ .; $r=0 \Rightarrow h=(g^n)^qg^0=(g^n)^q \in \langle g^n \rangle$ .; Следовательно, $H \subseteq \langle g^n \rangle$ .