Циклическая группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории групп группа (G, \cdot) называется циклической, если она может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число). Математическое обозначение: G = \langle a \rangle.

Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени g^n будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению (\mathbb{Z}, +).

Свойства[править | править вики-текст]

  • Все циклические группы абелевы.
  • Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе \mathbb{Z}_n — \{0,1,\dots,n-1\} со сложением по модулю n (её также обозначают \mathbb{Z} / n\mathbb{Z}), а каждая бесконечная — изоморфна \mathbb{Z}, группе целых чисел по сложению.
    • В частности, для каждого натурального числа n существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа порядка n.
  • Каждая подгруппа циклической группы циклична.
  • У циклической группы порядка n существует ровно φ(n) порождающих элементов, где φ — функция Эйлера
  • Если p — простое число, то любая группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа).
  • Прямое произведение двух циклических групп порядков n и m циклично тогда и только тогда, когда n и m взаимно просты.
    • Например, \mathbb{Z}_{12} изоморфна \mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4, но не изоморфна \mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_2.
  • Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа \mathbb{Z}_{p^n}, где p — простое число, или \mathbb{Z}.
  • Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).
  • Кольцо эндоморфизмов группы \mathbb{Z}_n изоморфно кольцу \mathbb{Z}_n. При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм \mathbb{Z}_n, который сопоставляет элементу сумму r его экземпляров. Такое отображение будет биекцией, если и только если r взаимно просто с n, так что группа автоморфизмов \mathbb{Z}_n изоморфна \mathbb{Z}_n^{\times}.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Группа корней из единицы степени n по умножению.
  • Группа Галуа любого конечного расширения конечного поля конечна и циклична; обратно, если дано конечное поле F и конечная циклическая группа G, существует конечное расширение F группой Галуа которого будет G.

Доказательства[править | править вики-текст]

Утверждение. Каждая подгруппа циклической группы циклична.

Доказательство. Пусть G — циклическая группа и H — подгруппа группы G. Если группа G тривиальна (состоит из одного элемента), то H=G и H циклична. Если H — тривиальная подгруппа (состоит из единичного элемента или совпадает со всей группой G), то H циклична. Далее в ходе доказательства будем считать, что G и H не являются тривиальными.

Пусть g — образующий элемент группы G, а n — наименьшее положительное целое число, такое что g^n \in H. Утверждение: H=\langle g^n \rangle

\langle g^n \rangle \subseteq H

{\forall a \in \langle g^n \rangle}\  {\exists z \in \mathbb{Z}} \mid {a=(g^n)^z}
g^n \in H \Rightarrow (g^n)^z \in H \Rightarrow a \in H
Следовательно, \langle g^n \rangle \subseteq H.

H \subseteq \langle g^n \rangle 

Пусть h \in H.
h \in H \Rightarrow h \in G \Rightarrow \exists x \in {\mathbb{Z}} \mid h=g^x.
Согласно алгоритму деления с остатком \exists q,r \in {\mathbb{Z}} \mid 0 \le r \le n-1 \and x=qn+r
h=g^x=g^{qn+r}=g^{qn}g^r=(g^n)^qg^r \Rightarrow g^r=h(g^n)^{-q}.
h,g^n \in H \Rightarrow g^r \in H.
Исходя из того, каким образом мы выбрали n и того, что 0 \le r \le n-1, делаем вывод, что r=0.
r=0 \Rightarrow h=(g^n)^qg^0=(g^n)^q \in \langle g^n \rangle.
Следовательно, H \subseteq \langle g^n \rangle.

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2001.
  • Хамермеш М. Теория групп и её приложение к физическим проблемам. — М.: Мир, 1966.