Проблемы Ландау: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Bezik (обсуждение | вклад) возможности перенаправления |
Jumpow (обсуждение | вклад) Заменено переводом статьи с английского языка "Landau's problems" Метка: удалено перенаправление |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
На [[Международный конгресс математиков|Международном конгрессе математиков]] 1912 года [[Ландау, Эдмунд Георг Герман|Эдмунд Ландау]] перечислил четыре главные проблемы в теории [[Простое число|простых чисел]]. Эти проблемы были выражены в его докладе как «неприступные при текущем состоянии математики» и они известны теперь как '''проблемы Ландау'''. |
|||
#перенаправление [[Простое число#Открытые вопросы]] |
|||
# [[Проблема Гольдбаха|Гипотеза Гольдбаха]]: Можно ли любое целое чётное число, большее 2, записать в виде суммы двух простых? |
|||
# [[Числа-близнецы|Гипотеза о числах-близнецах]]: Бесконечно ли число простых ''p'' таких, что ''p'' + 2 тоже простое? |
|||
# [[Гипотеза Лежандра]]: Всегда ли существует по меньшей мере одно простое число, лежащее между двумя последовательными [[Полный квадрат|полными квадратами]]? |
|||
# Существует ли бесконечно много простых чисел ''p'', для которых ''p'' − 1 является полным квадратом? Другими словами, бесконечно ли количество простых чисел вида ''n''<sup>2</sup> + 1? ({{OEIS|id=A002496}}). |
|||
Все четыре проблемы {{На|2018}} остаются открытыми. |
|||
[[Категория:Перенаправления, вместо которых желательно создать статьи]] |
|||
[[Категория:Теория чисел]] |
|||
[[Категория:Открытые математические проблемы]] |
|||
==Продвижение в направлении решения проблем== |
|||
[[ar:معضلات لاندو]] |
|||
[[ca:Problemes de Landau]] |
|||
===Гипотеза Гольдбаха=== |
|||
[[da:Landaus problemer]] |
|||
{{не переведено 5|Теорема Виноградова|||Vinogradov's theorem}} доказывает [[Проблема Гольдбаха|слабую гипотезу Гольдбаха]] для достаточно большого ''n''. В 2013 [[Хельфготт, Харальд|Харальд Хельфготт]] доказал слабую гипотезу для всех нечётных чисел больших 5<ref> |
|||
[[en:Landau's problems]] |
|||
*{{cite arXiv |
|||
[[es:Problemas de Landau]] |
|||
|eprint=1305.2897 |
|||
[[eu:Landauren problemak]] |
|||
|title = Major arcs for Goldbach's theorem |
|||
[[fr:Problèmes de Landau]] |
|||
|last = Helfgott|first = H.A. |
|||
[[it:Problemi di Landau]] |
|||
|class=math.NT |
|||
[[nl:Problemen van Landau]] |
|||
|year=2013 |
|||
[[pt:Problemas de Landau]] |
|||
}} |
|||
[[sl:Landauovi problemi]] |
|||
*{{cite arXiv |
|||
[[sv:Landaus problem]] |
|||
|eprint=1205.5252 |
|||
|title = Minor arcs for Goldbach's problem |
|||
|last = Helfgott|first = H.A. |
|||
|class=math.NT |
|||
|year=2012 |
|||
}} |
|||
*{{cite arXiv |
|||
|eprint=1312.7748 |
|||
|title = The ternary Goldbach conjecture is true |
|||
|last = Helfgott|first = H.A. |
|||
|class=math.NT |
|||
|year=2013 |
|||
}} |
|||
</ref>. В отличие от [[Проблема Гольдбаха|проблемы Гольдбаха]] слабая гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое нечётное число, большее 5, может быть выражено в виде суммы трёх простых чисел. Хотя сильная гипотеза Гольдбаха ни доказана, ни опровергнута, из её доказательства вытекало бы доказательство слабой гипотезы. |
|||
[[Теорема Чэня]] доказывает, что для всех достаточно больших ''n'' <math>2n=p+q</math>, где ''p'' простое, а ''q'' либо простое, либо [[Полупростое число|полупростое]]. Монтгомери и [[Воган, Боб|Воган]] показали, что чётные числа, не представимые в виде суммы двух простых, имеет [[Асимптотическая плотность|плотность]] нуль{{sfn|Montgomery, Vaughan|1975|с=353–370}}. |
|||
В 2015 Томохиро Ямада доказал явную версию теоремы Чэня<ref>*{{cite arXiv |
|||
|last=Yamada |first=Tomohiro |
|||
|eprint=1511.03409 |
|||
|title=Explicit Chen's theorem |
|||
|class=math.NT |
|||
|date=2015-11-11 |
|||
}} |
|||
</ref>: любое чётное число, большее <math>e^{e^{36}} \approx 1.7\cdot10^{1872344071119348}</math>, является суммой простого числа и произведения не более чем двух простых. |
|||
===Гипотеза о числах-близнецах=== |
|||
[[Чжан Итан]]{{sfn|Zhang|2014|с=1121–1174}} показал, что существует бесконечно много простых пар с промежутком, ограниченным 70 миллионами, и этот результат был улучшен до промежутка длиной 246 при объединении с {{не переведено 5|Проект «Polymath»|проектом «Polymath»||Polymath Project}}{{sfn|Polymath|2014|с=12}}. При принятии обобщённой [[Гипотеза Эллиота — Халберстама|гипотезе Эллиота — Халберстама]] оценка улучшается до 6 ([[Мейнард, Джеймс|Мейнард]]{{sfn|Maynard}}, Голдстон, Пинц и Йылдырым{{sfn|Goldston, Motohashi, Pintz, Yıldırım|2006|с= 61–65}}). |
|||
Чень показал, что имеется бесконечно много простых чисел ''p'' (позднее названных [[Простое число Чэня|простыми числами Чэня]]), таких что ''p''+2 является простым или полупростым. |
|||
===Гипотеза Лежандра=== |
|||
Достаточно проверить, что каждый промежуток между простыми числами, большими ''p'', меньше величины <math>2 \sqrt p</math>. Таблица максимальных промежутков между простыми числами показывает, что гипотеза верна вплоть до 4×10<sup>18</sup>{{sfn|Andersen}}. Контрпример около 10<sup>18</sup> должен иметь промежуток в пятьдесят миллионов раз больше среднего промежутка. Матомаки показал, что существует не более <math>x^{1/6}</math> нарушающих гипотезу примеров с последующим промежутком, большим <math>\sqrt{2p}</math>. В частности, |
|||
:<math>\sum_{\stackrel{p_{n+1}-p_n>x^{1/2}}{x\le p_n\le 2x}}p_{n+1}-p_n\ll x^{2/3}.</math>{{sfn|Matomäki|2007|с=489–518}}. |
|||
Резудьтат Ингема показывает, что существует простое между <math>n^3</math> и <math>(n+1)^3</math> для любого достаточно большого ''n''{{sfn|Ingham|1937|с=255–266}}. |
|||
===Почти квадратные простые числа=== |
|||
[[Теорема Фридландера — Иванеца]] показывает, что бесконечно большое количество простых чисел имеют вид <math>x^2+y^4</math>{{sfn|Friedlander, Iwaniec|1997|с=1054–1058}}. |
|||
[[Иванец, Хенрик| Иванец]] показал, что существует бесконечное количество чисел вида <math>n^2+1</math> с максимум двумя простыми делителями{{sfn|Iwaniec|1978|с=178–188}}{{sfn|Oliver|2012|с=241–261}}. |
|||
Анкени доказал, что при верности [[Обобщённые гипотезы Римана|обобщённой гипотезы Римана]] для {{не переведено 5|L-функция|L-функций||L-function}} на {{не переведено 5|Характер Гекке|характерах Гекке||Hecke character}}, существует бесконечно много простых чисел вида <math>x^2+y^2</math> с <math>y=O(\log x)</math>{{sfn|Ankeny|1952|с=913–919}}. |
|||
Дешуиллерс и Иванец{{sfn|Deshouillers, Iwaniec|1982|с=1–11}}, улучшив результат Хули{{sfn|Hooley|1967|с=281-299}} и Тодда{{sfn|Todd|1949|с=517–528}}, показали, что существует бесконечно много чисел вида <math>n^2+1</math> с бо́льшим простым множителем по меньшей мере <math>n^{1.2}</math>. Если заменить показатель на 2, получим утверждение гипотезы. |
|||
<!-- |
|||
Бэнкс, Фридландер, Померанец и Шпарлински показали, что существует бесконечное количество свободных от квадратов чисел ''n'', для которых φ(''n'') является квадратом. Если заменить «свободных от квадратов» на «простых», получим утверждение гипотезы. |
|||
--> |
|||
В обратную сторону, {{не переведено 5|решето Бруна|||Brun sieve}} показывает, что существует <math>O(\sqrt x/\log x)</math> таких простых, меньших ''x''. |
|||
==Примечания== |
|||
{{примечания|2}} |
|||
==Литература== |
|||
{{refbegin|colwidth=30em}} |
|||
*{{статья |
|||
|first= Montgomery H. L., Vaughan R. C. |
|||
|ref=Montgomery, Vaughan |
|||
|ссылка=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa27/aa27126.pdf |
|||
|заглавие=The exceptional set in Goldbach's problem |
|||
|издание=Acta Arithmetica |
|||
|том=27 |
|||
|год=1975 |
|||
}} |
|||
*{{статья |
|||
|ref=Zhang |
|||
|автор=Yitang Zhang |
|||
|ссылка=http://annals.math.princeton.edu/2014/179-3/p07 |
|||
|заглавие=Bounded gaps between primes |
|||
|издание=Annals of Mathematics |
|||
|том=179 |
|||
|год=2014 |
|||
|выпуск=3 |
|||
}} |
|||
*{{статья |
|||
|автор= Polymath D.H.J. |
|||
|ref=Polymath |
|||
|заглавие=Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes |
|||
|издание=Research in the Mathematical Sciences |
|||
|том=1 |
|||
|номер=12 |
|||
|doi=10.1186/s40687-014-0012-7 |
|||
|arxiv=1407.4897 |
|||
|год=2014 |
|||
|mr=3373710 |
|||
|страницы=12 |
|||
}} |
|||
*{{статья |
|||
|автор=Maynard J. |
|||
|ref=Maynard |
|||
|ссылка=https://arxiv.org/abs/1311.4600 |
|||
|заглавие=Small gaps between primes |
|||
|издание=Annals of Mathematics |
|||
}} |
|||
*{{статья |
|||
|автор= Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz, Cem Yalçın Yıldırım |
|||
|ref=Goldston, Motohashi, Pintz, Yıldırım |
|||
|год=2006 |
|||
|заглавие=Small Gaps between Primes Exist |
|||
|ссылка=http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pja/1146576181 |
|||
|издание=Proceedings of the Japan Academy, Series A Mathematical Sciences |
|||
|том= 82 |
|||
|выпуск= 4 |
|||
|doi=10.3792/pjaa.82.61 |
|||
}} |
|||
*{{статья |
|||
|автор=Jens Kruse Andersen |
|||
|ref=Andersen |
|||
|ссылка=http://primerecords.dk/primegaps/maximal.htm |
|||
|заглавие=Maximal Prime Gaps |
|||
}} |
|||
*{{статья |
|||
|автор=Kaisa Matomäki |
|||
|ref= Matomäki |
|||
|заглавие=Large differences between consecutive primes |
|||
|издание=Quarterly Journal of Mathematics |
|||
|том=58 |
|||
|год=2007 |
|||
|doi=10.1093/qmath/ham021 |
|||
}} |
|||
*{{статья |
|||
|автор=Ingham A. E. |
|||
|ref= Ingham |
|||
|заглавие=On the difference between consecutive primes |
|||
|издание=Quarterly Journal of Mathematics Oxford |
|||
|том=8 |
|||
|год=1937 |
|||
|выпуск=1 |
|||
|doi=10.1093/qmath/os-8.1.255 |
|||
}} |
|||
*{{статья |
|||
|автор= John Friedlander, Henryk Iwaniec |
|||
|ref= Friedlander, Iwaniec |
|||
|год=1997 |
|||
|заглавие=Using a parity-sensitive sieve to count prime values of a polynomial |
|||
|издание=[[Proceedings of the National Academy of Sciences|PNAS]] |
|||
|том=94 |
|||
|выпуск=4 |
|||
|pmid=11038598 |
|||
|doi=10.1073/pnas.94.4.1054 |
|||
|pmc=19742 |
|||
}} |
|||
*{{статья |
|||
|автор= Iwaniec H. |
|||
|ref= Iwaniec |
|||
|заглавие=Almost-primes represented by quadratic polynomials |
|||
|издание=[[Inventiones Mathematicae]] |
|||
|том=47 |
|||
|выпуск =2 |
|||
|год=1978 |
|||
|doi=10.1007/BF01578070 |
|||
}} |
|||
*{{статья |
|||
|автор= Robert J. Lemke Oliver |
|||
|ref= Oliver |
|||
|заглавие=Almost-primes represented by quadratic polynomials |
|||
|издание =Acta Arithmetica |
|||
|том=151 |
|||
|год=2012 |
|||
|ссылка=http://www.stanford.edu/~rjlo/papers/04-Quadratic.pdf |
|||
|doi=10.4064/aa151-3-2 |
|||
}} |
|||
*{{статья |
|||
|автор=Ankeny N. C. |
|||
|ref= Ankeny |
|||
|заглавие=Representations of primes by quadratic forms |
|||
|издание =Amer. J. Math. |
|||
|том=74 |
|||
|выпуск=4 |
|||
|год=1952 |
|||
}} |
|||
*{{статья |
|||
|автор=Jean-Marc Deshouillers, Henryk Iwaniec |
|||
|ref=Deshouillers, Iwaniec |
|||
|ссылка=https://eudml.org/doc/74560 |
|||
|заглавие=On the greatest prime factor of <math>n^2+1</math> |
|||
|издание=Annales de l'institut Fourier'' |
|||
|том=32 |
|||
|выпуск=4 |
|||
|год=1982 |
|||
}} |
|||
*{{статья |
|||
|автор=Hooley C. |
|||
|ref=Hooley |
|||
|заглавие=On the greatest prime factor of a quadratic polynomial |
|||
|издание=Acta Math. |
|||
|том=117 |
|||
|год=1967 |
|||
}} |
|||
*{{статья |
|||
|автор=Todd J. |
|||
|ref=Todd |
|||
|заглавие=A problem on arc tangent relations |
|||
|издание=American Mathematical Monthly |
|||
|том=56 |
|||
|год=1949 |
|||
|страницы=517–528 |
|||
|doi=10.2307/2305526 |
|||
}} |
|||
{{refend}} |
|||
==Ссылки== |
|||
*{{MathWorld|urlname=LandausProblems|title=Landau's Problems}} |
|||
{{Гипотезы о простых числах }} |
|||
[[Категория:Гипотезы о простых числах]] |
|||
[[Категория:Открытые математические проблемы]] |
|||
{{rq|checktranslate|style|grammar}} |
Версия от 15:48, 17 марта 2018
На Международном конгрессе математиков 1912 года Эдмунд Ландау перечислил четыре главные проблемы в теории простых чисел. Эти проблемы были выражены в его докладе как «неприступные при текущем состоянии математики» и они известны теперь как проблемы Ландау.
- Гипотеза Гольдбаха: Можно ли любое целое чётное число, большее 2, записать в виде суммы двух простых?
- Гипотеза о числах-близнецах: Бесконечно ли число простых p таких, что p + 2 тоже простое?
- Гипотеза Лежандра: Всегда ли существует по меньшей мере одно простое число, лежащее между двумя последовательными полными квадратами?
- Существует ли бесконечно много простых чисел p, для которых p − 1 является полным квадратом? Другими словами, бесконечно ли количество простых чисел вида n2 + 1? (последовательность A002496 в OEIS).
Все четыре проблемы на 2018 год остаются открытыми.
Продвижение в направлении решения проблем
Гипотеза Гольдбаха
Теорема Виноградова?! доказывает слабую гипотезу Гольдбаха для достаточно большого n. В 2013 Харальд Хельфготт доказал слабую гипотезу для всех нечётных чисел больших 5[1]. В отличие от проблемы Гольдбаха слабая гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое нечётное число, большее 5, может быть выражено в виде суммы трёх простых чисел. Хотя сильная гипотеза Гольдбаха ни доказана, ни опровергнута, из её доказательства вытекало бы доказательство слабой гипотезы.
Теорема Чэня доказывает, что для всех достаточно больших n , где p простое, а q либо простое, либо полупростое. Монтгомери и Воган показали, что чётные числа, не представимые в виде суммы двух простых, имеет плотность нуль[2].
В 2015 Томохиро Ямада доказал явную версию теоремы Чэня[3]: любое чётное число, большее , является суммой простого числа и произведения не более чем двух простых.
Гипотеза о числах-близнецах
Чжан Итан[4] показал, что существует бесконечно много простых пар с промежутком, ограниченным 70 миллионами, и этот результат был улучшен до промежутка длиной 246 при объединении с проектом «Polymath»[англ.][5]. При принятии обобщённой гипотезе Эллиота — Халберстама оценка улучшается до 6 (Мейнард[6], Голдстон, Пинц и Йылдырым[7]).
Чень показал, что имеется бесконечно много простых чисел p (позднее названных простыми числами Чэня), таких что p+2 является простым или полупростым.
Гипотеза Лежандра
Достаточно проверить, что каждый промежуток между простыми числами, большими p, меньше величины . Таблица максимальных промежутков между простыми числами показывает, что гипотеза верна вплоть до 4×1018[8]. Контрпример около 1018 должен иметь промежуток в пятьдесят миллионов раз больше среднего промежутка. Матомаки показал, что существует не более нарушающих гипотезу примеров с последующим промежутком, большим . В частности,
- [9].
Резудьтат Ингема показывает, что существует простое между и для любого достаточно большого n[10].
Почти квадратные простые числа
Теорема Фридландера — Иванеца показывает, что бесконечно большое количество простых чисел имеют вид [11].
Иванец показал, что существует бесконечное количество чисел вида с максимум двумя простыми делителями[12][13].
Анкени доказал, что при верности обобщённой гипотезы Римана для L-функций?! на характерах Гекке[англ.], существует бесконечно много простых чисел вида с [14].
Дешуиллерс и Иванец[15], улучшив результат Хули[16] и Тодда[17], показали, что существует бесконечно много чисел вида с бо́льшим простым множителем по меньшей мере . Если заменить показатель на 2, получим утверждение гипотезы.
В обратную сторону, решето Бруна[англ.] показывает, что существует таких простых, меньших x.
Примечания
- ↑
- ↑ Montgomery, Vaughan, 1975, с. 353–370.
- ↑ *Yamada, Tomohiro (2015-11-11). "Explicit Chen's theorem". arXiv:1511.03409 [math.NT].
- ↑ Zhang, 2014, с. 1121–1174.
- ↑ Polymath, 2014, с. 12.
- ↑ Maynard.
- ↑ Goldston, Motohashi, Pintz, Yıldırım, 2006, с. 61–65.
- ↑ Andersen.
- ↑ Matomäki, 2007, с. 489–518.
- ↑ Ingham, 1937, с. 255–266.
- ↑ Friedlander, Iwaniec, 1997, с. 1054–1058.
- ↑ Iwaniec, 1978, с. 178–188.
- ↑ Oliver, 2012, с. 241–261.
- ↑ Ankeny, 1952, с. 913–919.
- ↑ Deshouillers, Iwaniec, 1982, с. 1–11.
- ↑ Hooley, 1967, с. 281-299.
- ↑ Todd, 1949, с. 517–528.
Литература
- The exceptional set in Goldbach's problem // Acta Arithmetica. — 1975. — Т. 27.
- Yitang Zhang. Bounded gaps between primes // Annals of Mathematics. — 2014. — Т. 179, вып. 3.
- Polymath D.H.J. Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes // Research in the Mathematical Sciences. — 2014. — Т. 1, № 12. — С. 12. — doi:10.1186/s40687-014-0012-7. — arXiv:1407.4897.
- Maynard J. Small gaps between primes // Annals of Mathematics.
- Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz, Cem Yalçın Yıldırım. Small Gaps between Primes Exist // Proceedings of the Japan Academy, Series A Mathematical Sciences. — 2006. — Т. 82, вып. 4. — doi:10.3792/pjaa.82.61.
- Jens Kruse Andersen. Maximal Prime Gaps.
- Kaisa Matomäki. Large differences between consecutive primes // Quarterly Journal of Mathematics. — 2007. — Т. 58. — doi:10.1093/qmath/ham021.
- Ingham A. E. On the difference between consecutive primes // Quarterly Journal of Mathematics Oxford. — 1937. — Т. 8, вып. 1. — doi:10.1093/qmath/os-8.1.255.
- John Friedlander, Henryk Iwaniec. Using a parity-sensitive sieve to count prime values of a polynomial // PNAS. — 1997. — Т. 94, вып. 4. — doi:10.1073/pnas.94.4.1054. — PMID 11038598. — PMC 19742.
- Iwaniec H. Almost-primes represented by quadratic polynomials // Inventiones Mathematicae. — 1978. — Т. 47, вып. 2. — doi:10.1007/BF01578070.
- Robert J. Lemke Oliver. Almost-primes represented by quadratic polynomials // Acta Arithmetica. — 2012. — Т. 151. — doi:10.4064/aa151-3-2.
- Ankeny N. C. Representations of primes by quadratic forms // Amer. J. Math.. — 1952. — Т. 74, вып. 4.
- Jean-Marc Deshouillers, Henryk Iwaniec. On the greatest prime factor of // Annales de l'institut Fourier. — 1982. — Т. 32, вып. 4.
- Hooley C. On the greatest prime factor of a quadratic polynomial // Acta Math.. — 1967. — Т. 117.
- Todd J. A problem on arc tangent relations // American Mathematical Monthly. — 1949. — Т. 56. — С. 517–528. — doi:10.2307/2305526.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Landau's Problems (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Для улучшения этой статьи желательно:
|