Гипотеза Андрицы

(а) Функция

A_{n}

для первых 100 простых.

(б) Функция

A_{n}

для первых 200 простых.

(в) Функция

A_{n}

для первых 500 простых.

Графическое свидетельство в поддержку гипотезы Андрицы для первых (а) 100, (б) 200 и (в) 500 простых чисел. Функция

A_{n}

всегда меньше 1.

Гипотеза Андрицы — гипотеза относительно интервалов между простыми числами, согласно которой неравенство:

{\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1

выполняется для всех $n$ , где $p_{n}$ является $n$ -м простым числом. Если $g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$ означает $n$ -й интервал, то гипотезу Андрицы можно переписать как:

g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1

.

Сформулирована румынским математиком Дорином Андрицей в 1986 году^[1].

Эмпирическое подтверждение[править | править код]

В начале 2000-х годов с использованием данных о наибольших интервалах простых чисел гипотеза проверена вплоть до $1{,}3002\times 10^{16}$ ^[2]. Используя таблицу максимальных интервалов и неравенство для интервалов, можно расширить значение подтверждения вплоть до $4\times 10^{18}$ .

Существует графическая иллюстрация гипотезы: для дискретной функции $A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}$ (функции Андрицы) наибольшее значение наблюдается в точке $n=4$ со значением $A_{4}\approx 0{,}670873\dots$ , и бóльших значений нет среди первых 10⁵ простых чисел. Поскольку функция Андрицы асимптотически убывает по мере возрастания $n$ , гипотеза с большой вероятностью верна, но остаётся недоказанной.

Обобщения[править | править код]

В качестве обобщения гипотезы Андрицы рассматривается следующее равенство:

p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,

где $p_{n}$ — $n$ -ое простое, а $x$ может быть любым положительным (вещественным) числом.

Наибольшее возможное решение по $x$ находится при $n=1$ , когда $x_{\max }=1$ . Есть гипотеза, что наименьшее значение $x$ равно $x_{\min }\approx 0{,}567148\dots$ ^[3], которое находится при $n=30$ .