Проблема Гольдбаха

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В математике проблемой Гольдбаха или гипотезой Гольдбаха называется одна из самых старых, до сих пор нерешённых проблем, которая имеет довольно простую формулировку:

Любое чётное число большее двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Например,

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11 = 7 + 7

16 = 3 + 13 = 5 + 11

18 = 5 + 13 = 7 + 11

20 = 3 + 17 = 7 + 13

и так далее.

Содержание 1 История 2 Слабая проблема Гольдбаха 3 Сильная проблема Гольдбаха 4 См. также 5 Литература

[править] История

В 1742 году прусский математик Кристиан Гольдбах послал письмо Леонарду Эйлеру, в котором он высказал следующее предположение:

Каждое нечётное число большее 5 можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Эйлер заинтересовался проблемой и выдвинул более сильную гипотезу:

Каждое чётное число большее двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Первое утверждение называется слабой проблемой Гольдбаха, второе — сильной проблемой Гольдбаха (или проблемой Гольдбаха в формулировке Эйлера).

Из справедливости утверждения сильной проблемы Гольдбаха автоматически следует справедливость слабой проблемы Гольдбаха: если каждое чётное число > 2 есть сумма двух простых чисел, то добавляя 3 к каждому чётному числу, можно получить все нечётные числа > 5.

[править] Слабая проблема Гольдбаха

Слабая проблема Гольдбаха формулируется так:

Каждое нечётное число большее 7 можно представить в виде суммы трёх нечётных простых.

Эквивалентная формулировка:

Каждое нечётное число большее 5 можно представить в виде суммы трёх простых.

(Каждое простое число может быть использовано больше одного раза).

Утверждение этой проблемы пока не доказано, хотя проведено много полезных попыток. В 1923 году математики Харди и Литлвуд показали, что в случае справедливости некоторого обобщения гипотезы Римана, проблема Гольдбаха верна для всех достаточно больших нечётных чисел.

В 1937 году Виноградов представил доказательство, не зависящее от справедливости гипотезы Римана, т. е. доказал, что любое достаточно большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх простых. Сам Виноградов не дал явной оценки для этого «достаточно большого числа», но его студент К. Бороздин доказал, что оно не превышает . Это число содержит 6 миллионов цифр, что делает невозможным прямую проверку всех меньших чисел. В дальнейшем этот результат многократно улучшали, пока в 1989 году Ванг и Чен не опустили нижнюю грань до , что тем не менее по-прежнему вне пределов явной проверки меньших чисел.

В 1997 году Deshouillers, Effinger, Te Riele (?) и Зиновьев показали, что обобщённая гипотеза Римана влечёт справедливость слабой проблемы Гольдбаха. Они доказали её справедливость для чисел превышающих 10²⁰, справедливость утверждения для меньших чисел легко проверить на компьютере.

[править] Сильная проблема Гольдбаха

Сильная проблема Гольдбаха формулируется так:

Любое чётное число большее двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Сильная проблема Гольдбаха далека от решения.

Виноградов в 1937 г. и Теодор Эстерманн в 1938 г. показали, что почти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел (доля непредставимых, если они есть, стремится к нулю). Этот результат немного усилен в 1975 году Хьюгом Монтгомери (Hugh Montgomery) и Робертом Чарльзом Воганом (Robert Charles Vaughan). Они показали, что существуют положительные константы c и C, такие что количество чётных чисел, не больших N, непредставимых в виде суммы двух простых чисел, не превышает CN^{1 − c}.

В 1939 году Шнирельман доказал, что любое чётное число представимо в виде суммы не более 300 000 простых чисел. Этот результат многократно улучшался. В 1995 Ремер (Ramaré) доказал, что любое чётное число — сумма не более 6 простых чисел.

В 1966 году Чэнь Цзинжунь (Chen Jingrun) доказал, что любое достаточно большое чётное число представимо или в виде суммы двух простых чисел, или же в виде суммы простого числа и полупростого (произведения двух простых чисел). Например, .

На июль 2008 года сильная гипотеза Гольдбаха была проверена для всех чётных чисел, не превышающих . ^[1]

[править] См. также

• Открытые математические проблемы

[править] Литература

1. ↑ Weisstein, Eric W. Goldbach Conjecture на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)

• А. Доксиадис, «Дядя Петрос и проблема Гольдбаха», Пер. с англ. М. Левина. — М.: АСТ, 2002.
• С.Петров, «Абсолютное программирование. Рекурсия» — пример типичной псевдоматематической попытки доказательства проблемы Гольдбаха методом просеивания.