Проблема Гольдбаха

В математике проблемой Гольдбаха или гипотезой Гольдбаха называется следующее утверждение:

Любое нечётное число, начиная с 7, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Примеры:

7=2+2+3

9=2+2+5=3+3+3

11=2+2+7=3+3+5

13=3+3+7=3+5+5

15=2+2+11=3+5+7=5+5+5

17=2+2+13=3+3+11=3+7+7=5+5+7

19=3+3+13=3+5+11=5+7+7

21=2+2+17=3+5+13=3+7+11=5+5+11=7+7+7

23=2+2+19=3+3+17=3+7+13=5+5+13=5+7+11

25=3+3+19=3+5+17=3+11+11=5+7+13=7+7+11

Вариантом проблемы Гольдбаха (её ещё называют тернарной проблемой Гольдбаха) является проблема Эйлера (или бинарная проблема Гольдбаха), которая до сих пор является одной из старейших нерешённых проблем:

Любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Примеры:

4=2+2

6=3+3

8=3+5

10=3+7=5+5

12=5+7

14=3+11=7+7

16=3+13=5+11

18=5+13=7+11

20=3+17=7+13

22=3+19=5+17=11+11

Проблема Гольдбаха (в совокупности с гипотезой Римана) включена под номером 8 в список проблем Гильберта (1900) и является одной из немногих проблем Гильберта, до сих пор остающихся нерешёнными.

Из справедливости утверждения бинарной проблемы Гольдбаха автоматически следует справедливость тернарной проблемы Гольдбаха: если каждое чётное число, начиная с 4, есть сумма двух простых чисел, то добавляя 3 к каждому чётному числу, можно получить все нечётные числа, начиная с 7. Математики в таких случаях говорят, что утверждение в бинарной проблеме сильнее, чем в тернарной.

История исследования

В 1742 году математик Кристиан Гольдбах послал письмо Леонарду Эйлеру, в котором он высказал следующее предположение:

Каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Эйлер заинтересовался проблемой и выдвинул более сильную гипотезу:

Каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Первое утверждение называется тернарной проблемой Гольдбаха, второе — бинарной проблемой Гольдбаха (или проблемой Эйлера).

Тернарная проблема Гольдбаха

Это, более слабое, утверждение было доказано для всех достаточно больших чисел И. М. Виноградовым в 1937 году, за что он получил Сталинскую премию и звание Героя Социалистического Труда.

В 1923 году математики Харди и Литлвуд показали, что в случае справедливости некоторого обобщения гипотезы Римана проблема Гольдбаха верна для всех достаточно больших нечётных чисел. В 1937 году Виноградов представил доказательство, не зависящее от справедливости гипотезы Римана, т. е. доказал, что любое достаточно большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх простых. Сам Виноградов не дал явной оценки для этого «достаточно большого числа», но его студент К. Бороздин доказал, что нижняя граница не превышает 3³¹⁵ ≈ 3,25×10^{6 846 168} ≈ 10^{6 846 168}. То есть это число содержит почти 7 миллионов цифр, что в настоящее время делает невозможной прямую проверку всех меньших чисел.

В дальнейшем результат Виноградова многократно улучшали, пока в 1989 году Ванг и Чен не опустили нижнюю грань до e^e11,503 ≈ 3,33339×10^{43 000} ≈ 10^{43 000,5}, что, тем не менее, по-прежнему находится вне пределов досягаемости для явной проверки всех меньших чисел при современном развитии вычислительной техники.

В 1997 году Дезуйе, Эффингер, те Риле и Зиновьев показали, что обобщённая гипотеза Римана влечёт справедливость слабой проблемы Гольдбаха. Они доказали её справедливость для чисел, превышающих 10²⁰, в то время как справедливость утверждения для меньших чисел легко устанавливается на компьютере.

Бинарная проблема Гольдбаха

Бинарная проблема Гольдбаха всё ещё далека от решения.

Виноградов в 1937 году и Теодор Эстерманн в 1938 году показали, что почти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел (доля непредставимых, если они есть, стремится к нулю). Этот результат немного усилен в 1975 году Хью Монтгомери (англ. Hugh Montgomery) и Робертом Чарльзом Воном (англ. Robert Charles Vaughan). Они показали, что существуют положительные константы c и C такие, что количество чётных чисел, не больших N, непредставимых в виде суммы двух простых чисел, не превышает $CN^{1-c}$.

В 1930 году Шнирельман доказал, что любое целое число представимо в виде суммы не более чем 800 000 простых чисел. Этот результат многократно улучшался. В 1995 году Ремер (фр. Olivier Ramaré) доказал, что любое чётное число — сумма не более чем 6 простых чисел.

В 1966 году Чэнь Цзинжунь доказал, что любое достаточно большое чётное число представимо или в виде суммы двух простых чисел, или же в виде суммы простого числа и полупростого (произведения двух простых чисел). Например, 100 = 23 + 7 · 11.

На июль 2008 года бинарная гипотеза Гольдбаха была проверена для всех чётных чисел, не превышающих 1,2×10¹⁸.

Если бинарная гипотеза Гольдбаха неверна, то существует алгоритм, который рано или поздно обнаружит её нарушение. Отсюда следует, что если отрицание бинарной гипотезы Гольдбаха недоказуемо в арифметике Пеано, то гипотеза верна.

Бинарная гипотеза Гольдбаха может быть переформулирована как утверждение о неразрешимости диофантова уравнения 4-й степени некоторого специального вида.

См. также

• Открытые математические проблемы
• Сфеническое число

Дополнительные факты

• В триллере «Западня Ферма» (исп. La habitación de Fermat) (Испания, 2007) одному из главных героев удается решить бинарную проблему Гольдбаха.
• Процессу доказательства проблемы Гольдбаха посвящена книга Дидье Нордона (фр. Didier Nordon) «Les obstinations d’un mathématicien» (Франция, 2003).

Литература

• Доксиадис А.. Дядя Петрос и проблема Гольдбаха. Пер. с англ. М. Левина. — М.: АСТ, 2002.

Ссылки

• Петров С.. Абсолютное программирование. Рекурсия. — пример типичной псевдоматематической попытки доказательства проблемы Гольдбаха методом просеивания.
• Проверка гипотезы Гольдбаха.