Алгебра Валя

Алгебра Валя (или Алгебра Валентины) — неассоциативная алгебра M над полем F, в которой бинарная мультипликативная операция подчиняется следующим аксиомам:

1. Условию антисимметричности:

$g (A, B) =-g (B, A)$

для всех $A,B \in M$.

2. Тождеству Валентины:

$J (g (A_1, A_2), g (A_3, A_4), g (A_5, A_6)) =0$

для всех $A_k \in M$, где k=1,2,…,6, и

$J (A, B, C):= g (g (A, B), C)+g (g (B, C), A)+g (g (C, A), B).$

3. Условию билинейности:

$g(aA+bB,C)=ag(A,C)+bg(B,C)$

для всех $A,B,C \in M$ и $a,b \in F$.

Можно сказать, что M является алгеброй Валентины, если коммутант этой алгебры является лиевой подалгеброй. Любая алгебра Ли является алгеброй Валентины.

Билинейная мультипликативная операция в алгебре Валентины, так же как в алгебре Ли, не является ассоциативной операцией.

Существует следующая взаимосвязь между коммутантно-ассоциативной алгеброй и алгеброй Валя. Замена умножения g(A,B) в алгебре M операцией коммутатирования [A,B]=g(A,B)-g(B,A), превращает ее в алгебру $M^{(-)}$. При этом, если M является коммутантно-ассоциативной алгеброй, то $M^{(-)}$ будет алгеброй Валя. Алгебра Валя является обобщением алгебры Ли, которая является частным примером алгебры Валентины.

Алгебры Валя могут быть использованы для описания диссипативных и негамильтоновых квантовых систем.

Примеры алгебры Валентины

(1) Любая конечная алгебра Валя является касательной алгеброй аналитических локальных коммутантно-ассоциативных луп (луп Валя), аналогично тому как конечные алгебры Ли являются касательными алгебрами аналитических локальных групп (групп Ли). Это утверждение является аналогом соответствия между аналитическими локальными группами (группами Ли) и алгебрами Ли.

(2) Билинейная операция для дифференциальных 1-форм

$\alpha=F_k(x)\, dx^k , \quad \beta=G_k(x)\, dx^k$

на симплектическом многообразии, определяемая по правилу

$(\alpha,\beta)_0=d \Psi(\alpha,\beta)+ \Psi(d\alpha,\beta)+\Psi(\alpha,d\beta), \,$

где $(\alpha,\beta)$ — 1-форма. Эта билинейная операция на множестве незамкнутых 1-форм задает алгебру Ли.

Если $\alpha$ и $\beta$ являются замкнутыми 1-формами, то $d\alpha=d\beta=0$ and

$(\alpha,\beta)=d \Psi(\alpha,\beta). \,$

Эта билинейная операция на множестве замкнутых 1-форм задает алгебру Ли.

Эта билинейная операция на множестве незамкнутых дифференциальных 1-форм задает уже не алгебру Ли, а алгебру Валентины, которая не является алгеброй Ли.

См. также

• Абстрактная алгебра
• Алгебра Мальцева
• Альтернативная алгебра
• Коммутантно-ассоциативная алгебра
• Группа Ли

Литература

• A. Elduque, H. C. Myung Mutations of alternative algebras, Kluwer Academic Publishers, Boston, 1994, ISBN 0-7923-2735-7
• V.T. Filippov (2001), «Mal’tsev algebra», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• M.V. Karasev, V.P. Maslov, Nonlinear Poisson Brackets: Geometry and Quantization. American Mathematical Society, Providence, 1993.
• A.G. Kurosh, Lectures on general algebra. Translated from the Russian edition (Moscow, 1960) by K. A. Hirsch. Chelsea, New York, 1963. 335 pp. ISBN 0828401683 ISBN 9780828401685
• A.G. Kurosh, General algebra. Lectures for the academic year 1969/70. Nauka, Moscow,1974. (In Russian)
• A.I. Mal’tsev, Algebraic systems. Springer, 1973. (Translated from Russian)
• A.I. Mal’tsev, Analytic loops. Mat. Sb., 36 : 3 (1955) pp. 569—576 (In Russian)
• Schafer R.D. An Introduction to Nonassociative Algebras. — New York: Dover Publications, 1995. — ISBN 0-486-68813-5
• V.E. Tarasov Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems. Elsevier Science, Amsterdam, Boston, London, New York, 2008. ISBN 0444530916 ISBN 9780444530912
• V.E. Tarasov, «Quantum dissipative systems: IV. Analogues of Lie algebras and groups» Theoretical and Mathematical Physics. Vol.110. No.2. (1997) pp.168-178.
• Zhevlakov, K.A. (2001), «Alternative rings and algebras», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104