Коммутант

Слово «коммутант» в алгебре может означать два разных, но родственных понятия: коммутант группы или коммутант алгебры. Коммутант — это некоторая подструктура (подгруппа, подалгебра), равная нулю тогда и только тогда, когда умножение в данной структуре (группе, аглебре) коммутативно: $ab=ba$ для всех пар элементов $a,b$. Таким образом коммутант позволяет измерять степень некоммутативности умножения. Абстрактно он определяется как ядро гомоморфизма данной структуры в её абелизацию.

Коммутант группы

Коммутант группы $G~$ (производная группа или второй член нижнего центрального ряда группы) — множество всевозможных произведений конечного числа коммутаторов пар элементов группы $G~$. Обычно коммутант группы $G~$ обозначается $[G, G]~$, $G'~$, $T_2(G)~$ или $K(G)$. Он является наименьшей нормальной подгруппой, фактор по которой абелев.

$[G,G] = \langle ghg^{-1}h^{-1} \vert g,h\in G \rangle$

Здесь $\langle ~ \rangle$ обозначает подгруппу, порождённую указанным множеством элементов. Выражение $ghg^{-1}h^{-1}$ называется коммутатором элементов $g$ и $h$, обозначается $[g,h]$.

Более общо, если $L,M~$ — подмножества $G~$, то их взаимным коммутантом называют подгруппу $[L,M]=\langle[a,b]:a\in L,b\in M\rangle~$.

• Коммутант группы является вполне характеристической подгруппой, а любая подгруппа, содержащая коммутант, является нормальной.
• Факторгруппа по некоторой нормальной подгруппе абелева тогда и только тогда, когда эта подгруппа содержит коммутант группы. Факторизация группы $G$ по её коммутанту называется абелизацией и обозначается $G_{ab}$ или $G^{ab}$ или $\operatorname{Ab}(G)$.
• Взаимный коммутант нормальных подгрупп — нормальная подгруппа.
• $g[L,M]g^{-1}=[gLg^{-1},gMg^{-1}]~$
• Абелизацию группы $G$ можно вычислить как первые целочисленные гомологии группы $G$:

$G_{ab} = \mathrm{H}_1 (G, \mathbb{Z} )$

• Забывающий функтор из категории абелевых групп в категорию всех групп имеет левый сопряжённый — функтор абелизации, сопоставляющий группе её фактор по коммутанту и очевидно действующий на морфизмах.
• Теорема Гуревича в топологии утверждает, что для связного клеточного пространства $H_1(X)=\pi_1(X)_{ab}$. Таким образом теорию гомологий в топологии можно рассматривать как абелизацию теории гомотопий. Это утверждение можно сделать точным (теорема Дольда—Тома).

Коммутант алгебры

Пусть $A$ — некоторая алгебра. Её коммутантом называется двусторонний идеал, порождённый коммутаторами её элементов. Это наименьший идеал, фактор по которому коммутативен.

$[A,A] = \langle [a,b] \vert a,b\in A \rangle$

Здесь $[a,b]=ab-ba$ — коммутатор элементов $a$,$b$, $\langle ~ \rangle$ — идеал, порождённый данным множеством.

Терминология

А английском языке коммутант групп называется commutator (sub)group, то есть «(под)группа-коммутатор», поэтому возможна путаница с понятием commutator — коммутатор.

Литература

• Курош А.Г. Теория групп. — 3-е изд. — М.: Наука, 1967. — 648 с.
• Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 5-е изд. — Лань, 2009. — 288 с. — ISBN 978-5-8114-0894-8