Коммутант

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Слово «коммутант» в алгебре может означать два разных, но родственных понятия: коммутант группы или коммутант алгебры. Коммутант — это некоторая подструктура (подгруппа, подалгебра), позволяющая измерять степень некоммутативности умножения. В частности, коммутант тривиален (состоит из одного элемента) тогда и только тогда, когда умножение в данной структуре (группе, алгебре) коммутативно: ab=ba для всех элементов a,b. Коммутант группы является наименьшей нормальной подгруппой, такой что фактор по ней является абелевой группой.

Коммутант группы[править | править исходный текст]

Коммутант группы G~ (производная группа или второй член нижнего центрального ряда группы) — множество всевозможных произведений конечного числа коммутаторов пар элементов группы G~. Обычно коммутант группы G~ обозначается [G, G],\; G',\; T_2(G)~ или K(G).

 [G,G] = \langle ghg^{-1}h^{-1} \vert g,h\in G \rangle

Здесь \langle ~ \rangle обозначает подгруппу, порождённую указанным множеством элементов. Выражение ghg^{-1}h^{-1} называется коммутатором элементов g и h, обозначается [g,h].

Более общо, если L,M~ — подмножества G~, то их взаимным коммутантом называют подгруппу [L,M],~ порождённую всеми коммутаторами вида [a,b]:a\in L,b\in M.~

Ряды коммутантов[править | править исходный текст]

Конструкцию коммутанта можно проитерировать:

G^{(0)}:=G
G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}], n\in \mathbb N

Группы G^{(2)},G^{(3)},\ldots называются второй производной группой, третьей производной группой и т. д. Убывающий ряд групп

G=G^{(0)}\vartriangleright G^{(1)}\vartriangleright G^{(2)}\vartriangleright \ldots

называется производным рядом, или рядом коммутантов. Эту конструкцию не нужно путать с нижним центральным рядом группы, который определяется как G_n := [G_{n-1},G], а не G^{(n)} := [G^{(n-1)},G^{(n-1)}].

Для конечной группы, производный ряд рано или поздно стабилизируется на совершенной группе[en], то есть группе, коммутатор которой совпадает с ней самой. Если эта группа тривиальна, исходная группа G называется разрешимой. Для бесконечной группы производный ряд не обязательно стабилизируется за конечное число шагов, однако его можно доопределить при помощи трансфинитной индукции, получив трансфинитный производный ряд, который рано или поздно приведёт к совершенной группе.

Абелизация[править | править исходный текст]

Факторгруппа по некоторой нормальной подгруппе абелева тогда и только тогда, когда эта подгруппа содержит коммутант группы. Факторизация группы G по её коммутанту называется абелизацией и обозначается G_{ab} или G^{ab} или \operatorname{Ab}(G).

Существует категорная интерпретация отображения \varphi:G\to G^{ab}. А именно, \varphi универсально по отношению ко всем гомоморфизмам из G в абелеву группу: для любого такого гомоморфизма f:G\to H существует единственный гомоморфизм F:G^{ab}\to H, такой что f=F\circ \varphi. Эквивалентным образом, забывающий функтор из категории абелевых групп в категорию всех групп имеет левый сопряжённый — функтор абелизации, сопоставляющий группе её фактор по коммутанту и очевидным образом действующий на морфизмах.

Абелизацию группы G можно вычислить как первые целочисленные гомологии группы: G_{ab} = H_1 (G, \mathbb{Z} )

Коммутант алгебры[править | править исходный текст]

Пусть A — некоторая алгебра. Её коммутантом называется двусторонний идеал, порождённый коммутаторами её элементов. Это наименьший идеал, фактор по которому коммутативен.

[A,A] = \langle [a,b] \vert a,b\in A \rangle

Здесь [a,b]=ab-ba — коммутатор элементов a,b,\; \langle ~ \rangle — идеал, порождённый данным множеством.

Терминология[править | править исходный текст]

На английском языке коммутант группы называется commutator subgroup, то есть «подгруппа-коммутатор», поэтому возможна путаница с понятием commutator — коммутатор (элементов группы).

Литература[править | править исходный текст]

  • Курош А.Г. Теория групп. — 3-е изд. — М.: Наука, 1967. — 648 с.
  • Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 5-е изд. — Лань, 2009. — 288 с. — ISBN 978-5-8114-0894-8