Магма (алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Магма (группоид) в общей алгебре — алгебра, состоящая из множества М с одной бинарной операцией M × MM. Помимо требования замкнутости множества относительно заданной на нём операции, других требований к операции и множеству не предъявляется.

Термин «магма» был предложен Бурбаки. Термин «группоид» старше, он предложен Ойстином Оре, однако этот термин также относится к другой общалгебраической структуре — теоретико-категорному группоиду, и в более современной литературе чаще используется в этом смысле.

Типы магм[править | править вики-текст]

Как таковые магмы обычно не изучаются; вместо этого изучаются различные типы магм, отличающиеся дополнительно вводимыми аксиомами. Обычно изучаемые типы магм включают следующие:

Морфизм магм[править | править вики-текст]

Морфизм магм — это функция f:M\to N, соотносящая магме M магму N, которая сохраняет бинарную операцию:

f(x \; *_M \;y) = f(x) \; *_N\; f(y)

где *_M и *_N обозначают бинарные операции на M и на N соответственно.

Комбинаторика и скобки[править | править вики-текст]

Для общего, неассоциативного случая, операция магмы может быть многократно повторена. Для обозначения порядка используются скобки. Результирующая строка состоит из символов, обозначающих элементы магмы и сбалансированных скобок. Множество всех возможных строк сбалансированных скобок называется языком Дика. Общее число различных способов записи n применений оператора магмы определяется числом Каталана C_n. Так например, C_2=2, что эквивалентно утверждению, что (ab)c и a(bc) — единственно возможные способы определения порядка применения двух операций магмы, включающей множество из трёх элементов.

Для упрощения записи и сокращения числа используемых скобок используется условное обозначение. Для того, чтобы обозначить более высокий приоритет у выполнения операции используют запись рядом. Например, если операция магмы *, то xy*z — сокращённая запись (x * y) * z. Дальнейшие сокращения возможны за счёт использования пробелов. Например, записывая xy*z * wv вместо ((x * y) * z) * (w * v). Разумеется, для более сложных выражений отказ от использования скобок нежизнеспособен. Способом избежать использования скобок является префиксная запись, которая, однако, неинтуитивна.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — М.: Высшая школа, 1979. — 559 с.