Магма (алгебра)
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Магма (группоид) — в абстрактной алгебре — базовый тип алгебраической структуры. Магма состоит из множества М с одной бинарной операцией M × M → M. Помимо требования замкнутости множества относительно заданной на нём операции, других требований к операции и множеству не предъявляется.
Термин магма был предложен Бурбаки. Термин группоид старше, но использование его в качестве альтернативы ввёл Остин Ор. Однако группоид также относится к другой алгебраической структуре, имеющей отношение к теории категорий.
Содержание |
[править] Типы магм
Как таковые магмы обычно не изучаются; вместо этого изучаются различные типы магм, отличающимися дополнительно вводимыми аксиомами. Обычно изучаемые типы магм включают следующие:
- квазигруппа — непустая магма, в которой всегда возможно деление;
- лупа — квазигруппа с нейтральным элементом;
- полугруппа — магма с ассоциативной операцией;
- моноид — полугруппа с нейтральным элементом;
- группа — моноид с обратным элементом или, что то же, ассоциативная лупа (всегда являющаяся квазигруппой);
- абелева группа — группа с коммутативной операцией.
[править] Морфизм магм
Морфизм магм — это функция 
, соотносящая магме M магму N, которая сохраняет бинарную операцию:
где * M и * N обозначают бинарные операции на M и на N соответственно.
[править] Комбинаторика и скобки
Для общего, неассоциативного случая, операция магмы может быть многократно повторена. Для обозначения порядка используются скобки. Результирующая строка состоит из символов, обозначающих элементы магмы и сбалансированных скобок. Множество всех возможных строк сбалансированных скобок называется языком Дика. Общее число различных способов записи n применений оператора магмы определяется числом Каталана Cn. Так например, C2 = 2, что эквивалентно утверждению, что (ab)c и a(bc) — единственно возможные способы определения порядка применения двух операций магмы, включающей множество из трёх элементов.
Для упрощения записи и сокращения числа используемых скобок используется условное обозначение. Для того, чтобы обозначить более высокий приоритет у выполнения операции используют запись рядом. Например, если операция магмы *, то xy*z — сокращённая запись (x * y) * z. Дальнейшие сокращения возможны за счёт использования пробелов. Например, записывая xy*z * wv вместо ((x * y) * z) * (w * v). Разумеется, для более сложных выражений отказ от использования скобок нежизнеспособен. Способ избежать использование скобок является префиксная запись, которая, однако, неинтуитивна.
[править] См. также
[править] Литература
- Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — М.: Высшая школа, 1979.
