Магма (алгебра)

Магма (группоид) — в общей алгебре — базовый тип алгебраической структуры. Магма состоит из множества М с одной бинарной операцией M × M → M. Помимо требования замкнутости множества относительно заданной на нём операции, других требований к операции и множеству не предъявляется.

Термин магма был предложен Бурбаки. Термин группоид старше, но использование его в качестве альтернативы ввёл Остин Ор. Однако группоид также относится к другой алгебраической структуре, имеющей отношение к теории категорий.

Типы магм

Как таковые магмы обычно не изучаются; вместо этого изучаются различные типы магм, отличающиеся дополнительно вводимыми аксиомами. Обычно изучаемые типы магм включают следующие:

• квазигруппа — непустая магма, в которой всегда возможно деление;
• петля или лупа — квазигруппа с нейтральным элементом;
• полугруппа — магма с ассоциативной операцией;
• моноид — полугруппа с нейтральным элементом;
• группа — моноид с обратным элементом или, что то же, ассоциативная петля (всегда являющаяся квазигруппой);
• абелева группа — группа с коммутативной операцией.

Морфизм магм

Морфизм магм — это функция $f:M\to N$, соотносящая магме $M$ магму $N$, которая сохраняет бинарную операцию:

$f(x \; *_M \;y) = f(x) \; *_N\; f(y)$

где $*_M$ и $*_N$ обозначают бинарные операции на $M$ и на $N$ соответственно.

Комбинаторика и скобки

Для общего, неассоциативного случая, операция магмы может быть многократно повторена. Для обозначения порядка используются скобки. Результирующая строка состоит из символов, обозначающих элементы магмы и сбалансированных скобок. Множество всех возможных строк сбалансированных скобок называется языком Дика. Общее число различных способов записи n применений оператора магмы определяется числом Каталана $C_n$. Так например, $C_2=2$, что эквивалентно утверждению, что $(ab)c$ и $a(bc)$ — единственно возможные способы определения порядка применения двух операций магмы, включающей множество из трёх элементов.

Для упрощения записи и сокращения числа используемых скобок используется условное обозначение. Для того, чтобы обозначить более высокий приоритет у выполнения операции используют запись рядом. Например, если операция магмы *, то xy*z — сокращённая запись (x * y) * z. Дальнейшие сокращения возможны за счёт использования пробелов. Например, записывая xy*z * wv вместо ((x * y) * z) * (w * v). Разумеется, для более сложных выражений отказ от использования скобок нежизнеспособен. Способом избежать использования скобок является префиксная запись, которая, однако, неинтуитивна.

См. также

• Универсальная алгебра
• Алгебраическая система

Литература

• Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — М.: Высшая школа, 1979.