Египетские дроби

Египетская дробь — в математике сумма нескольких (конечного числа) попарно различных дробей вида $\frac{1}{n}$ (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Пример: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{16}$.

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби (вообще говоря, несколькими способами). Сумма такого типа использовалась математиками для записи произвольных дробей, начиная со времён древнего Египта до средневековья. В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.

История

Древний Египет

Дополнительную информацию по данному вопросу см. в Египетская система счисления, Математика в Древнем Египте.

Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в древнем Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Египтяне ставили иероглиф

(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру:

$= \frac{1}{3}$

$= \frac{1}{10}$

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4, которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

$= \frac{1}{2}$

$= \frac{2}{3}$

$= \frac{3}{4}$

Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2^k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат, основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката.

Например, так:

$= \frac{1}{331}$

При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.

Античность и Средневековье

Египетские дроби продолжали использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков (к примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой). Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci».

Основная тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

Алгоритм Фибоначчи

Первый дошедший до нас общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие описал Фибоначчи в XIII веке. В современной записи его алгоритм можно изложить следующим образом.

1. Дробь $\frac{m}{n}$ разлагается на 2 слагаемых:

$\frac{m}{n}=\frac{1}{\lceil n/m\rceil}+\frac{(-n)\,\bmod\, m}{n\lceil n/m\rceil}.$

Здесь $\lceil n/m\rceil$ — частное от деления n на m, округлённое до целого в бо́льшую сторону, а $~(-n)\,\bmod\, m$ — (положительный) остаток от деления -n на m.

2. Первое слагаемое в правой части уже имеет вид египетской дроби. Из формулы видно, что числитель второго слагаемого строго меньше, чем у исходной дроби. Аналогично, по той же формуле, разложим второе слагаемое и продолжим этот процесс, пока не получим слагаемое с числителем 1.

Метод Фибоначчи всегда сходится после конечного числа шагов и даёт искомое разложение. Пример:

$\frac{7}{15}=\frac{1}{3}+\frac{2}{15}=\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{120}$

Однако полученное таким методом разложение может оказаться не самым коротким. Пример его неудачного применения:

$\frac{5}{121}=\frac{1}{25}+\frac{1}{757}+\frac{1}{763309}+\frac{1}{873960180913}+\frac{1}{1527612795642093418846225},$

в то время как более совершенные алгоритмы приводят к разложению:

$\frac{5}{121}=\frac{1}{33}+\frac{1}{121}+\frac{1}{363}.$

Современная теория чисел

Современные математики продолжают исследовать ряд задач, связанных с египетскими дробями.

• В конце прошлого века были даны оценки максимального знаменателя и длины разложения произвольной дроби в египетские. Дробь x/y имеет разложение в египетские дроби с максимальным знаменателем не более

$O\left(\frac{y\log^2 y}{\log\log y}\right)$

(Tenenbaum & Yokota 1990) и с числом слагаемых не более

$O\left(\sqrt{\log y}\right)$

(Vose 1985)

• Гипотеза Эрдёша–Грэхема (en:Erdős–Graham conjecture) утверждает, что для всякой раскраски целых чисел больших 1 в r > 0 цветов существует конечное одноцветное подмножество S целых такое, что

$\sum_{n\in S}1/n = 1.$

Эта гипотеза доказана Эрнестом Крутом (en:Ernest S. Croot, III) в 2003 году.

Открытые проблемы

Египетские дроби ставят ряд трудных и по сей день нерешенных математических проблем.

• Гипотеза Эрдёша—Страуса (en:Erdős–Straus conjecture) утверждает, что для всякого целого числа n ≥ 2, существуют положительные целые x, y и z такие, что

$\frac4n = \frac1x + \frac1y + \frac1z.$

Компьютерные эксперименты показывают, что гипотеза верна для всех n ≤ 10¹⁴, но доказательство пока не найдено. Обобщение этой гипотезы утверждает, что для всякого положительного k существует N такое, что для всех n ≥ N существует разложение

$\frac{k}{n} = \frac1x + \frac1y + \frac1z.$

Эта гипотеза принадлежит Анджею Шинцелю (en:Andrzej Schinzel).

Литература

• Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959, 456 с. (Репринт: М.: УРСС, 2007)
• Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук (Догреческая математика). Т. 1. М.-Л.: ОНТИ, 1937.
• Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968. (Репринт: М.: УРСС, 2003)
• Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, Мордовское гос. изд-во, 1977.
• Раик А. Е. К истории египетских дробей. Историко-математические исследования, 23, 1978, с. 181—191.
• Яновская С. А. К теории египетских дробей. Труды Института истории естествознания, 1, 1947, с. 269—282.
• Beeckmans, L. (1993). «The splitting algorithm for Egyptian fractions». Journal of Number Theory 43: 173–­185.
• Botts, Truman (1967). «A chain reaction process in number theory». Mathematics Magazine: 55–65.
• Breusch, R. (1954). «A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512». American Mathematical Monthly 61: 200–­201.
• Bruins, Evert M. (1957). «Platon et la tabl égyptienne 2/n». Janus 46: 253–263.
• Eves, Howard An Introduction to the History of Mathematics,. — Holt, Reinhard, and Winston, 1953. — ISBN 0-03-029558-0
• Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs. — Dover, 1982. — ISBN ISBN 0-486-24315-X
• Graham, R. L. (1964). «On finite sums of reciprocals of distinct nth powers». Pacific Journal of Mathematics 14 (1): 85–92.
• Hultsch, Friedrich Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung. — Leipzig: S. Hirzel, 1895.
• Knorr, Wilbur R. (1982). «Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece». Historia Mathematica 9: 133–171.
• Lüneburg, Heinz Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. — Mannheim: B. I. Wissenschaftsverlag, 1993. — ISBN ISBN 3-411-15461-6
• Martin, G. (1999). «Dense Egyptian fractions». Transactions of the American Mathematical Society 351: 3641–3657.
• Menninger, Karl W. Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. — MIT Press, 1969. — ISBN ISBN 0-262-13040-8
• Robins, Gay; Shute, Charles The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. — Dover, 1990. — ISBN ISBN 0-486-26407-6
• Stewart, B. M. (1954). «Sums of distinct divisors». American Journal of Mathematics 76: 779–­785.
• Stewart, I. (1992). «The riddle of the vanishing camel». Scientific American (June): 122–­124.
• Struik, Dirk J. A Concise History of Mathematics. — Dover, 1967. — P. 20–25. — ISBN ISBN 0-486-60255-9
• Takenouchi, T. (1921). «On an indeterminate equation». Proc. Physico-Mathematical Soc. of Japan, 3rd ser. 3: 78–92.
• Tenenbaum, G.; Yokota, H. (1990). «Length and denominators of Egyptian fractions». Journal of Number Theory 35: 150–­156.
• Vose, M. (1985). «Egyptian fractions». Bulletin of the London Mathematical Society 17: 21.
• Wagon, S. Mathematica in Action. — W.H. Freeman, 1991. — P. 271–­277.

Ссылки

• Дэвид Эппштейн. Egyptian Fractions. Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012.
• Egyptian fractions. Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012.
• Mathematics in Egyptian Papyri (2000). Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012.
• Weisstein, Eric W. Egyptian Fraction (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Браун, Кевин. RMP 2/nth table(недоступная ссылка — история).