Дробь (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
8 / 13       \frac{8}{13} числитель
числитель знаменатель знаменатель
Две записи одной дроби

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы[1]. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные вида \pm \frac{m}{n} и десятичные.

Виды дробей[править | править исходный текст]

Обыкновенные дроби[править | править исходный текст]

Наглядное представление дроби 3 \over 4

Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде \pm \frac{m}{n} или \pm m/n, где n \ne 0. Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

Обозначения обыкновенных дробей[править | править исходный текст]

Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

Правильные и неправильные дроби[править | править исходный текст]

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби \frac{3}{5}, \frac{7}{8} и \frac{1}{2} — правильные дроби, в то время как \frac{8}{3}, \frac{9}{5}, \frac{2}{1} и \frac{1}{1} — неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Смешанные дроби[править | править исходный текст]

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

Например, 2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}. В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.

Высота дроби[править | править исходный текст]

Высота обыкновенной дроби — модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.

Например, высота дроби -\frac{15}{6} равна 15+6=21. Высота же соответствующего рационального числа равна 5+2=7, так как дробь сокращается на 3.

Составные дроби[править | править исходный текст]

Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:

\frac{1}{2}/\frac{1}{3} или \frac{1/2}{1/3} или \frac{12\frac{3}{4}}{26}

Десятичные дроби[править | править исходный текст]

Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:

\pm a_1 a_2 \dots a_n{,}b_1 b_2 \dots

Пример: 3{,}1415926.

Часть записи, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.

Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева).

Значение дроби и основное свойство дроби[править | править исходный текст]

Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:

\frac P R = \frac{C\cdot P}{C\cdot R}

то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:

\frac 3 4 = \frac{9}{12} = \frac{12}{16}

И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:

~\frac {12}{16} = \frac{12 : 4}{16 : 4} = \frac{3}{4} — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4.

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты, т. е. не имеют общих делителей, кроме ~\pm 1.

Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. Пример:

0,999...=1 — две разные дроби соответствуют одному числу.

Действия над дробями[править | править исходный текст]

В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь.

Приведение к общему знаменателю[править | править исходный текст]

Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: \frac{a}{b} и \frac{c}{d}. Порядок действий:

  • Находим наименьшее общее кратное знаменателей: M=[b,d].
  • Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на M/b.
  • Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на M/d.

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны M). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.

Сравнение[править | править исходный текст]

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.

Пример. Сравниваем \frac{3}{4} и \frac{4}{5}. НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.

\frac{3}{4} = \frac{15}{20}; \quad \frac{4}{5} = \frac{16}{20}

Следовательно, \frac{3}{4} < \frac{4}{5}

Сложение и вычитание[править | править исходный текст]

Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

НОК знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6. Приводим дробь \frac{1}{2} к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3.
Получилось \frac{3}{6}. Приводим дробь \frac{1}{3} к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось \frac{2}{6}.
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:

\frac{1}{2} — \frac{1}{4} = \frac{2}{4} — \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

НОК знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь ~\frac{1}{2} к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем ~\frac{2}{4}.

Умножение и деление[править | править исходный текст]

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.

В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:

\frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{6}{3}= 2

В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:

\frac{5}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}.

Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую на дробь, обратную второй:

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc},\quad c \ne 0.

Например,

\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2}.

Преобразование между разными форматами записи[править | править исходный текст]

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:

\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5
\frac{1}{7} = 0{,}142857142857142857\dots = 0{,}(142857) — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.

Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:

71{,}1475 = 71 + \frac{1475}{10000} = 71 \frac{1475}{10000} = 71 \frac{59}{400}

История и этимология термина[править | править исходный текст]

Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики.

Впервые в Европе данный термин употребил Леонардо Пизанский (1202). Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус).

В древней Руси дроби называли долями или ломаными числами. Термин дробь, как аналог латинского fractura, используется в «Арифметике» Магницкого (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.

Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную[3]. Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на пять веков раньше[4].

В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585).

Обобщения[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «дробь»

Литература[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.
  2. Дробная черта (Fraction bar, Solidus) — Справочник ПараТайп
  3. Jean-Claude Martzloff. A History of Chinese Mathematics. Springer. 1997. ISBN 3-540-33782-2.
  4. Berggren J. Lennart Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. — Princeton University Press, 2007. — P. 518. — ISBN 978-0-691-11485-9