Дробь (математика)

8	/ 13	$\frac{8}{13}$	числитель
числитель	знаменатель		знаменатель
Две записи одной дроби

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные вида $\pm \frac{m}{n}$ и десятичные.

Виды дробей

Обыкновенные дроби

Наглядное представление дроби $3 \over 4$

Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде $\pm \frac{m}{n}$ или $\pm m/n,$ где $n \ne 0.$ Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

Обозначения обыкновенных дробей

Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

• ½
• 1/2 или ${}^1/{}_2$ (наклонная черта называется «солидус»)
• выключная формула: $\frac{1}{2}$ (горизонтальная черта называется Винкулум (англ.))
• строчная формула: $\tfrac{1}{2}$

Правильные и неправильные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби $\frac{3}{5}$, $\frac{7}{8}$ и $\frac{1}{2}$ — правильные дроби, в то время как $\frac{8}{3}$, $\frac{9}{5}$, $\frac{2}{1}$ и $\frac{1}{1}$ — неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Смешанные дроби

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

Например, $2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}$. В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.

Высота дроби

Высота обыкновенной дроби — модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.

Например, высота дроби $-\frac{15}{6}$ равна $15+6=21$. Высота же соответствующего рационального числа равна $5+2=7$, так как дробь сокращается на $3$.

Составные дроби

Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:

$\frac{1}{2}/\frac{1}{3}$ или $\frac{1/2}{1/3}$ или $\frac{12\frac{3}{4}}{26}$

Десятичные дроби

Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:

$\pm a_1 a_2 \dots a_n{,}b_1 b_2 \dots$

Пример: $3{,}1415926$.

Часть записи, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.

Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева).

Значение дроби и основное свойство дроби

Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:

$\frac P R = \frac{C\cdot P}{C\cdot R}$

то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:

$\frac 3 4 = \frac{9}{12} = \frac{12}{16}$

И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:

$~\frac {12}{16} = \frac{12 : 4}{16 : 4} = \frac{3}{4}$ — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4.

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты, т. е. не имеют общих делителей, кроме $~\pm 1.$

Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. Пример:

$0,999...=1$ — две разные дроби соответствуют одному числу.

Действия над дробями

В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь.

Приведение к общему знаменателю

Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$. Порядок действий:

• Находим наименьшее общее кратное знаменателей: $M=[b,d]$.
• Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на $M/b$.
• Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на $M/d$.

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны M). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.

Сравнение

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.

Пример. Сравниваем $\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{5}$. НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.

$\frac{3}{4} = \frac{15}{20}; \quad \frac{4}{5} = \frac{16}{20}$

Следовательно, $\frac{3}{4} < \frac{4}{5}$

Сложение и вычитание

Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:

$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{3}{6}$ + $\frac{2}{6}$ = $\frac{5}{6}$

НОК знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6. Приводим дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3.
Получилось $\frac{3}{6}$. Приводим дробь $\frac{1}{3}$ к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось $\frac{2}{6}$.
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:

$\frac{1}{2}$ — $\frac{1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ — $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$

НОК знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь $~\frac{1}{2}$ к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем $~\frac{2}{4}$.

Умножение и деление

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.$

В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:

$\frac{2}{3} \cdot 3 = \frac{6}{3}= 2$

В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:

$\frac{5}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}.$

Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую на дробь, обратную второй:

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc},\quad c \ne 0.$

Например,

$\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2}.$

Преобразование между разными форматами записи

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:

$\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5$

$\frac{1}{7} = 0{,}142857142857142857\dots = 0{,}(142857)$ — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.

Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:

$71{,}1475 = 71 + \frac{1475}{10000} = 71 \frac{1475}{10000} = 71 \frac{59}{400}$

История и этимология термина

Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики.

Впервые в Европе данный термин употребил Леонардо Пизанский (1202). Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус).

В древней Руси дроби называли долями или ломаными числами. Термин дробь, как аналог латинского fractura, используется в «Арифметике» Магницкого (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.

Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную. Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше.

В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585).

Обобщения

• Кольцо частных
• Рациональная функция — дробь, составленная из многочленов.

См. также

• Дроби в Юникоде
• Цепная дробь

Литература

• Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.