Математика в Древнем Египте

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Данная статья — часть обзора История математики.

Содержание 1 О математике в Древнем Египте 2 Нумерация 3 Запись чисел 4 Знаки сложения и вычитания 5 Сложение 6 Умножение 6.1 Разложение 6.2 Пример 7 Арифметика и геометрия 7.1 Формулы египетской геометрии 7.2 Египетский треугольник 7.3 Объем усеченного конуса 8 См. также 9 Примечания 10 Литература

[править] О математике в Древнем Египте

Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. К сожалению, египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому наши знания о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов — общеизвестно, что греческие математики учились у египтян.

Основные сохранившиеся источники: папирус Ахмеса или папирус Ринда (84 математические задачи) и московский математический папирус (25 задач), оба из Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры. Авторы текста нам неизвестны. Дошедшие до нас экземпляры — это копии, переписанные в период гиксосов. Носители научных знаний тогда именовались писцами и фактически были государственными или храмовыми чиновниками.

Все задачи из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года до н. э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным ^[1].

Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления.

Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивных обобщений и гениальных догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или по крайней мере начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.

Нам ничего не известно о развитии математических знаний в Египте как в более древние, так и в более поздние времена. После воцарения Птолемеев начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и греческой культур.

[править] Нумерация

Древнеегипетская нумерация, то есть запись чисел, была похожа на римскую: поначалу были отдельные значки для 1, 10, 100, … 10 000 000, сочетавшиеся аддитивно (складываясь). Египтяне писали справа налево, и младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал нашему. В иератическом письме уже есть отдельные обозначения для цифр 1-9 и сокращённые значки для разных десятков, сотен и тысяч.

Умножение египтяне производили с помощью сочетания удвоений и сложений. Деление заключалось в подборе делителя, то есть как действие, обратное умножению.

Особые значки обозначали дроби вида и . Однако общего понятия дроби у них не было, и все неканонические дроби представлялись как сумма аликвотных дробей (см.Египетские дроби). Типовые разложения были сведены в громоздкие таблицы.

Пример записи дробей из Папируса Ринда^[2]

5 + ¹⁄₂ + ¹⁄₇ + ¹⁄₁₄ (= 5 ⁵⁄₇)

[править] Запись чисел

Числа в Древнем Египте записывали двумя способами: словами и цифрами.

Например, чтобы написать число 30, можно было использовать обычные иероглифы:

или тоже самое написать цифрами:

Обоими способами можно было записывать любые числа. Данная система широко применяется и сегодня.

[править] Знаки сложения и вычитания

Чтобы показать знаки сложения или вычитания использовался иероглиф

или

Если направление ног у этого иероглифа совпадало с направлением письма, тогда он означал «сложение», в других случаях он означал «вычитание».^[3]

[править] Сложение

Если при сложении получается число большее десяти, тогда десяток записывается повышающим иероглифом.

Например: 2343 + 1671

+

Собираем все однотипные иероглифы вместе и получаем:

Преобразим:

Окончательный результат выглядит вот так:

[править] Умножение

Основная статья: Умножение в Древнем Египте

Древнеегипетское умножение является последовательным методом умножения двух чисел. Чтобы умножать числа им не нужно было знать таблицы умножения, а достаточно было только уметь раскладывать числа на кратные основания, умножать эти кратные числа и складывать.

Египетский метод предполагает раскладывание наименьшего из двух множителей на кратные числа и последующее их последовательное переумножение на второй множитель (см. пример).

Этот метод можно и сегодня встретить в очень отдаленных регионах.

[править] Разложение

Египтяне использовали систему разложения наименьшего множителя на кратные числа, сумма которых составляла бы исходное число.

Чтобы правильно подобрать кратное число нужно было знать следующую таблицу значений:

1 x 2 = 2
2 x 2 = 4
4 x 2 = 8
8 x 2 = 16
16 x 2 = 32

Пример разложения числа 25:

• Кратный множитель для числа «25» - это 16.
• 25 – 16 = 9,
• Кратный множитель для числа «9» - это 8,
• 9 – 8 = 1,
• Кратный множитель для числа «1» - это 1,
• 1 – 1 = 0

Таким образом «25» - это сумма трех слагаемых: 16, 8 и 1.

[править] Пример

Умножим «13» на «238»:

✔	1 х 238	= 238
	2 х 238	= 476
✔	4 х 238	= 952
✔	8 х 238	= 1904
	13 х 238	= 3094

Известно, что 13 = 8 + 4 + 1. Каждое из этих слагаемых нужно умножить на 238. Получаем: 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 3094.

[править] Арифметика и геометрия

Основные статьи: Папирус Ахмеса, Московский математический папирус

В области геометрии египтяне знали точные формулы для площади прямоугольника, треугольника, трапеции и сферы, могли высчитывать объемы параллелепипеда, цилиндра и пирамид.

[править] Формулы египетской геометрии

Площадь произвольного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d вычислялась приближённо как ; эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику.

Египтяне предполагали, что (погрешность менее 1 %)^[4].

Формула площади круга с диаметром d имела вид:

Ещё одна ошибка содержится в Акмимском папирусе ^[5]: автор считает, что если радиус круга A есть среднее арифметическое радиусов двух других кругов B и C, то и площадь круга A есть среднее арифметическое площадей кругов B и C.

Вычисление объема усеченной пирамиды: пусть мы имеем правильную усечённую пирамиду со стороной нижнего основания a, верхнего b и высотой h; тогда объём вычислялся по оригинальной, но точной формуле:

[править] Египетский треугольник

Основная статья: Египетский треугольник

Египетским треугольником называется прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.

[править] Объем усеченного конуса

Древний свиток папируса, найденный в Оксиринхе, свидетельствует, что египтяне могли вычислять объем усеченного конуса. Эти знания ими использовались для сооружения водяных часов. Так, например, известно, что при Аменхотепе III были построены водяные часы в Карнаке.

[править] См. также

• Геометрия в Древнем Египте
• Папирус Ахмеса (Ринда)
• Московский математический папирус

[править] Примечания

[править] Литература

• Бобынин В. В. Математика древних египтян (по папирусу Ринда). М.: 1882.
• Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: Гос. изд. физ-мат. лит., 1959.
• Веселовский И. Н. Египетская наука и Греция. Труды ИИЕ, 2, 1948, с. 426–498.
• Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в Древнем мире. Изд. 2-е. М.: Наука, 1967.
• Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд. второе. — М.: Просвещение, 1965. — 416 с.
• История математики с древнейших времен до начала Нового времени / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
• Нейгебауер О. Лекции по истории античных математических наук. — Москва-Ленинград: 1937.
• Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск: Мордовское гос. изд-во, 1977.
• Gillings R. J. Mathematics in the time of the pharaohs. Cambridge: MIT Press, 1972.
• Rossi C. Architecture and mathematics in Ancient Egypt. Cambridge (UK): Cambridge UP, 2004.
• Vogel K. Vorgriechische Mathematik I, Vorgeschichte und Ägypten. Hannover: Schrödel, 1958.