Категория функторов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории категорий функторы между двумя зафиксированными категориями образуют категорию, морфизмы в которой — естественные преобразования.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть C -малая категория (её объекты и морфизмы образуют множество) и D — произвольная категория. Тогда категория функторов из C в D, обозначаемая Fun(C, D), Funct(C,D) или DC, определяется следующим образом: объекты — ковариантные функторы из C в D, морфизмы — естественные преобразования между этими функторами. Поскольку композиция естественных преобразований естественна (см. Естественное преобразование) и тождественное преобразование естественно, DC удовлетворет аксиомам категории.

Аналогичным образом определяется категория контравариантных функторов из C в D, обозначаемая Funct(Cop,D).

Примеры[править | править вики-текст]

  • Если I — малая дискретная категория (все морфизмы — тождественные), то функтор из I в C — это просто семейство объектов C, индексированное I. Категории CI в этом случае соответствует некоторая категория произведения.
  • Категория стрелок \mathcal{C}^\rightarrow (объекты — морфизмы C, морфизмы — коммутативные квадраты) — это категория \mathcal{C}^\mathbf{2}, где 2 обозначает категорию из двух объектов, тождественных морфизмов, а также одного морфизма из первого объекта во второй.
  • ориентированный граф представляет собой множество стрелок и множество вершин, сопосталяющих каждой стрелке вершину-начало и вершину-конец. Категория ориентированных графов предсталяет собой не что иное как категорию SetC, где C — категория с двумя объектами и двумя морфизмами между ними, а Set — категория множеств.

Свойства[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]