Полная категория

Категория называется полной в малом, если в ней любая (малая) диаграмма имеет предел. Дуальное понятие — кополная в малом категория, то есть та, в которой любая малая диаграмма имеет копредел. Аналогично определяется конечная полнота и вообще α-полнота для любого регулярного кардинала α. Из них всех наиболее употребимой является полнота в малом, поэтому категории, полные в малом, называют просто полными. Заметим, что это не означает существование пределов вообще всех (не обязательно малых) диаграмм, так как такая категория с необходимостью была бы предпорядком.

Категория, являющаяся одновременно полной и кополной, называется биполной.

Примеры

• Следующие категории биполны:
  • категория множеств $\mathcal{S}et$;
  • категория групп $\mathcal{G}rp$;
  • категория колец $\mathcal{R}ing$;
  • категория абелевых групп $\mathcal{A}b$;
  • категория топологических пространств $\mathcal{T}op$;
  • категория компактных хаусдорфовых пространств $\mathcal{C}omp\mathcal{H}$;
  • категория малых категорий $\mathcal{C}at$;
• Следующие категории конечно биполны, но не являются полными или кополными:
  • категория конечных множеств $f{S}et$;
  • категория конечномерных векторных пространств над полем $K$ $fd-\mathcal{V}ect_K$;
  • категория конечных групп $f\mathcal{G}rp$;
• Вообще, если $\mathrm{Mod}_{\mathcal{T}}$ — категория моделей некоторой алгебраической теории $\mathcal{T}$, то $\mathrm{Mod}_{\mathcal{T}}$ полна и кополна, так как она рефлективна в $\mathrm{Func}(\mathcal{T},\mathcal{S}et)$. Напомним, что алгебраическая теория допускает только условия на операции, являющиеся тождествами (никаких кванторов!). Скажем, категория полей не является категорией моделей алгебраической теории, поэтому предыдущее утверждение к ней неприменимо. Она не является полной или кополной.
• (теорема о пределе с параметром) Если категория $\mathcal{C}$ полна (кополна), то категория $\mathrm{Func}(\mathcal{A},\mathcal{C})$ полна (кополна) для любой категории $\mathcal{A}$, причём пределы вычисляются поточечно.
• Предпорядок полон, если в нём существует наибольший элемент и любое множество элементов имеет точную верхнюю грань. Аналогично, он кополон, если имеет наименьший элемент и любое множество элементов имеет точную нижнюю грань.
• Категория метрических пространств $\mathcal{M}etr$ конечно полна, но не является полной и не имеет даже конечных копроизведений.

Свойства

• Если в категории существует терминальный объект, любая пара параллельных морфизмов $f,g:a\to b$ имеет уравнитель и для любых двух объектов существует произведение, то категория является конечно полной. Если вдобавок существуют все малые произведения объектов, то категория полна в малом.
• Дуально, если в категории существует начальный объект, для любых двух параллельных морфизмов морфизмов существует коуравнитель и существуют копроизведения всех пар объектов, то категория является конечно кополной.
• (Фрейд) Если малая категория полна в малом, то она является предпорядком.
• Если категория $C$ полна в малом, то для любой малой категории $A$ любой функтор $F\colon A\to C$ имеет правое расширение Кана $\mathrm{Ran}_K F$ по любому функтору $K\colon A\to B$, причём любое такое расширение Кана является поточечным. Утверждение явно следует из представления поточечного расширения Кана как предела.

Литература

• С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
• Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
• F. Borceux Handbook of Categorical Algebra 1. Basic Category Theory. — Encyclopaedia of Mathematics and its Applications. — Cambridge: Cambridge University Press, 1994. — Т. 1. — 345 p. — ISBN 0 521 44178 1