Квадруполь

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории поля представление системы зарядов в виде некоторых квадрупо́лей, аналогично представлению её в виде системы диполей, используется для приближённого расчёта создаваемого ей поля и излучения. Более общим представлением является разложение системы на мультиполи, соответствующее разложению потенциалов в ряд Тейлора по некоторым переменным. Квадруполь — частный случай мультиполя. Квадрупольное рассмотрение системы оказывается особенно важным в том случае, когда её дипольный момент и заряд равны 0.

Электрический квадруполь[править | править вики-текст]

Квадруполь

Электрический квадруполь (от лат. quadrum — четырёхугольник, квадрат и др.-греч. πόλος — полюс), система заряженных частиц, полный электрический заряд и электрический дипольный момент которой равны нулю. Квадруполь можно рассматривать как совокупность двух одинаковых диполей с равными по величине и противоположными по направлению дипольными моментами, расположенных на некотором расстоянии друг от друга (см. рис.). На больших расстояниях R от квадруполя напряженность его электрического поля E убывает обратно пропорционально четвёртой степени R \ (E \sim 1/R^4), а зависимость E от зарядов и их расположения описывается в общем случае набором из пяти независимых величин, которые, вместе составляют квадрупольный момент системы. Квадрупольный момент определяет также энергию квадруполя во внешнем электрическом поле. Квадруполь является мультиполем 2-го порядка.

Квадрупольный момент (произвольной) системы зарядов является тензором 2-го ранга в \R^3. Он представляется интегралом по пространству

\mathcal{D}_{\alpha \beta} = \iiint\limits_V \rho(x,y,z) (3 x_\alpha x_\beta - R^2 \delta_{\alpha \beta}) dV,

где \rho(x,y,z) — плотность зарядов в данной точке, R — модуль радиус-вектора, (x_1, x_2, x_3) = (x,y,z), \alpha,\beta = 1,2,3 — индексы, нумерующие координаты.

Тензор квадрупольного момента симметричен:

\mathcal{D}_{\alpha \beta} = \mathcal{D}_{\beta \alpha}

Его след равен нулю:

\mathcal{D}_{\alpha \alpha} = 0

Здесь и далее используется соглашение Эйнштейна о суммировании.

Если полный заряд системы и её дипольный момент равны 0, то квадрупольный момент не зависит от выбора начала координат. В противном случае необходимо также указывать центр квадруполя — начало координат при его вычислении.

Поле квадруполя[править | править вики-текст]

На больших расстояниях поле любой в целом нейтральной системы зарядов, дипольный момент которой равен нулю, выглядит как поле некоторого (возможно, изменяющегося со временем) квадруполя или более высокого мультиполя (октуполя и т.д.). Рассмотрение системы как некоторого квадруполя может иметь смысл и тогда, когда дипольный момент и/или заряд системы не равны нулю, если раскладывать создаваемый потенциал в ряд по мультиполям. Квадрупольное излучение системы на больших расстояниях равно (в СГС)

I = \frac{1}{180 c^5} \left( \frac{\partial^3 D_{\alpha\beta}}{\partial t^3} \right)^2

Здесь c — скорость света, I — полная мощность излучения. Во многих случаях достаточно считать, что излучение системы складывается из дипольного, квадрупольного и магнитодипольного.

Квадрупольный потенциал имеет вид

\varphi^{(2)} = \frac{D_{\alpha\beta}}{6} \frac{\partial^2}{\partial x_\alpha \partial x_\beta} \frac{1}{R} = \frac{D_{\alpha\beta}}{2}\left(\frac{x_{\alpha} x_{\beta}}{R^5}-\frac{{\delta}_{\alpha\beta}}{3R^3}\right)

Здесь x_\alpha = (x_1,x_2,x_3) — радиус-вектор точки, в которой берётся потенциал, относительно центра квадруполя. \varphi^{(2)} является вторым членом разложения потенциала в ряд по расстоянию до начала координат.

Магнитный квадруполь[править | править вики-текст]

Гравитационный квадруполь[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]