Норма (теория полей)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Но́рма — отображение элементов конечного расширения E поля K в исходное поле K, определяемое следующим образом:

Пусть E — конечное расширение поля K степени n, \alpha — какой-нибудь элемент поля E. Поскольку E является векторным пространством над K, данный элемент определяет линейное преобразование x\mapsto \alpha x. Этому преобразованию в некотором базисе можно сопоставить матрицу. Определитель этой матрицы называется нормой элемента α. Так как в другом базисе отображению будет соответствовать подобная матрица с тем же определителем, норма не зависит от выбранного базиса, то есть элементу расширения можно однозначно сопоставить его норму. Она обозначается N_K^E(\alpha) или просто N(\alpha), если понятно, о каком расширении идет речь.

Свойства[править | править вики-текст]

Выражение нормы через автоморфизмы E над K[править | править вики-текст]

Пусть σ1, σ2 … σm — все автоморфизмы E, сохраняющие неподвижными элементы поля K. Если E — сепарабельное расширение, то m равно степени [E:К] = n. Тогда для нормы существует следующее выражение:

N_K^E(\alpha)=\sigma_1(\alpha)\sigma_2(\alpha)\ldots \sigma_m(\alpha)

Если E несепарабельно, то m≠n, однако n кратно m, причём частное является некоторой степенью характеристики p.

Тогда N_K^E(\alpha)=(\sigma_1(\alpha)\sigma_2(\alpha)\ldots \sigma_m(\alpha))^{n/m}.

Пример[править | править вики-текст]

Пусть R — поле вещественных чисел, C — поле комплексных чисел, рассматриваемое как расширение R. Тогда в базисе (1,i) умножению на a+bi соответствует матрица

\begin{pmatrix}a & -b \\b & a \end{pmatrix}

Определитель этой матрицы равен a^2+b^2, то есть квадрату обычного модуля комплексного числа. Заметим, что обычно эту норму определяют как |z|^2=z\bar z, и это хорошо согласуется с тем, что единственный нетривиальный автоморфизм поля комплексных чисел — комплексное сопряжение.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1.
  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.