Норма (теория полей)

Но́рма — отображение элементов конечного расширения E поля K в исходное поле K, определяемое следующим образом:

Пусть E — конечное расширение K степени n=[E:K], α — какой-нибудь элемент из E. Он определяет линейное преобразование на E:x→αx. Этому преобразованию в некотором базисе e₁,e₂...e_n соответствует матрица A:

(αe₁,αe₂...αe_n)=(e₁,e₂...e_n)*A. Определитель этой матрицы называется нормой элемента α. Так как для другого базиса данному отображению будет соответствовать подобная матрица A'=CAC^-1 с тем же определителем det(A)=det(A'), то норма не зависит от выбранного базиса. Она обозначается N_K^E(α)

Свойства

• N_K^E(α)=0 тогда и только тогда, когда α=0
• N_K^E(α)=α^[E:K] для любого $\alpha \in K$
• N_K^E(αβ)=N_K^E(α)N_K^E(β), в частности является гомоморфизмом группы ненулевых элементов поля E^* в группу K^*
• Для башни Для башни $K \subset E \subset F$ имеем: N_K^E(N_E^F(α))=N_K^F(α) (транзитивость нормы)
• Если E=K(α) и f(x)=xⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀ - неприводимый многочлен для α то N_K^K(α)(α)=(-1)ⁿa₀

Выражение нормы через изоморфизмы E над K

Пусть σ₁,σ₂...σ_m — все изоморфизмы E в алгебраическое замыкание поля K, являющиеся изоморфизмами над K то-есть оставляющие неподвижными все элементы K. Если E сепарабельно то m равно степени [E:К]=n . Тогда для нормы существует следующее выражение:

N_K^E(a)=σ₁(a)σ₂(a)...σ_n(a)

Если E несепарабельно то m≠n — степени [E:K], в этом случае n кратно m, причём частное является некоторой степенью характеристики p.

Тогда N_K^E(a)=(σ₁(a)σ₂(a)...σ_m(a))^n:m

Пример

Пусть R — поле вещественных чисел, C — поле комплексных чисел, рассматриваемое как расширение R. Тогда норма элемента a+bi будет равна a²+b²

См. также

• Норма алгебраического числа
• След (теория полей)

Литература

• Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967