Ограничение Вейля

Ограничение скаляров (известное также как «ограничение Вейля») — это функтор, который для любого конечного расширения поля L/k и любого алгебраического многообразия X над L даёт другое многообразие Res_L/kX, определённое над k. Ограничение скаляров полезно для сведения вопросов о многообразиях над большими полями к вопросам о более сложных многообразиях над меньшими полями.

Определение

Пусть L/k будет конечным расширением поля, а X — многообразием, определённым над L. Функтор $\mathrm {Res} _{L/k}X$ из k-схем^op в множества определяется выражением

$\mathrm {Res} _{L/k}X(S)=X(S\times _{k}L)$

(В частности, k-рациональные точки многообразия $\mathrm {Res} _{L/k}X$ являются L-рациональными точками многообразия X.) Многообразие, которое представляет этот функтор, называется ограничением скаляров и оно единственно с точностью до изоморфизма, если существует.

С точки зрения пучков множеств ограничение скаляров является просто дифференциалом вдоль морфизма Spec L $\to$ Spec k и сопряжёно справа расслоенному произведению схем, так что вышеприведённое определение можно перефразировать в более общем виде. В частности, можно заменить расширения поля на любой морфизм окольцованных топосов, а предположение о X может быть ослаблено, к примеру, до стеков. Это приводит к более слабому контролю над поведением ограничения скаляров.

Свойства

Для любого конечного расширения поля ограничение скаляров переводит квазипроективное многообразие в квазипроективное многообразие. Размерность получаемого многообразия умножается на степень расширения.

При подходящих условиях (например, плоский, собственный, конечно определённый), любой морфизм $T\to S$ алгебраических пространств даёт функтор ограничения скаляров, который переводит алгебраические стеки в алгебраические стеки, сохраняя такие свойства, как стек Артина, стек Делиня — Мамфорда и представимость.

Примеры и приложения

1) Пусть L — конечное расширение поля k степени s. Тогда $\mathrm {Res} _{L/k}$(Spec L) = Spec(k) и $Res_{L/k}\mathbb {A} ^{1}$ является s-мерным аффинным пространством $\mathbb {A} ^{s}$ над Spec k.

2) Если X является аффинным L-многообразием, определённым выражением

$X={\text{Spec}}L[x_{1},\dots ,x_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})$

мы можем записать $\mathrm {Res} _{L/k}X$ как Spec $k[y_{i,j}]/(g_{l,r})$, где y_i,j ($1\leq i\leq n,1\leq j\leq s$) новые переменные, а g_l,r ($1\leq l\leq m,1\leq r\leq s$) является многочленом от $y_{i,j}$ получаемый выбором k-базиса $e_{1},\dots ,e_{s}$ расширения L и полагая $x_{i}=y_{i,1}e_{1}+\dots +y_{i,s}e_{s}$ и $f_{t}=g_{t,1}e_{1}+\dots +g_{t,s}e_{s}$.

3) Ограничение скаляров над конечным расширением поля переводит групповые схемы в групповые схемы.

В частности:

4) Тор

$\mathbb {S} :=\mathrm {Res} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\mathbb {G} _{m}$,

где G_m означает мультипликативную группу, играет существенную роль в теории Ходжа, поскольку таннакиева категория вещественных структур Ходжа эквивалентен категории представлений S. Вещественные точки имеют структуру группы Ли, изоморфную $\mathbb {C} ^{\times }$. См. Группа Мамфорда–Тейта.

5) Ограничение Вейля $\mathrm {Res} _{L/k}\mathbb {G}$ (коммутативного) группового многообразия $\mathbb {G}$ снова является (коммутативным) групповым многообразием размерности $[L:k]\dim \mathbb {G}$, если L сепарабельно над k. Александр Момот применил ограничения Вейля коммутативных групповых многообразий с $k=\mathbb {R}$ и $L=\mathbb {C}$ с целью получить новые результаты в теории трансцендентности, которая основывалась на увеличении алгебраической размерности.

6) Ограничение скаляров на абелевых многообразиях (например, эллиптических кривых) дают абелевы многообразия, если L сепарабельно над k. Джеймс Миль использовал это для сведения гипотезы Бёрча — Свиннертон-Дайера над абелевыми многообразиями над всеми числовыми полями к той же гипотезе над рациональными числами.

7) В эллиптической криптографии спуск Вейля использует ограничение Вейля для преобразования задачи дискретного логарифмирования на эллиптической кривой над конечным расширением поля L/K в задачу дискретного логарифмирования на многообразии Якоби гиперболической кривой над базовым полем K, которую потенциально решить легче ввиду меньшего размера поля K.

Построения Вейля по сравнению с преобразованиями Гринберга

Ограничение скаляров аналогично преобразованию Гринберга, но не обобщает его, поскольку кольцо векторов Витта на коммутативной алгебре A в общем случае не является A-алгеброй.