Числовая последовательность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Последовательность

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть X — это либо множество вещественных чисел \mathbb{R}, либо множество комплексных чисел \mathbb{C}. Тогда последовательность \{x_n\}_{n=1}^{\infty} элементов множества X называется числовой последовательностью.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Функция \left((-1)^n\right)_{n=1}^{\infty} является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид \langle -1, 1, -1, 1, -1,\ldots\rangle.
  • Функция (1/n)_{n=1}^{\infty} является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид \langle 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,\ldots\rangle.
  • Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу n\leqslant 12 одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида (x_n)_{n=1}^{12}. В частности, пятым членом x_5 этой последовательности является слово «май».

Операции над последовательностями[править | править исходный текст]

На множестве всех последовательностей элементов множества X можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве X. Такие операции обычно определяют естественным образом, то есть поэлементно.

Пусть на множестве X определена N-арная операция f:

f \colon X^N \rightarrow X

Тогда для элементов x_1=(x_{1n})_{n=1}^\infty, x_2=(x_{2n})_{n=1}^\infty, …, x_N=(x_{Nn})_{n=1}^\infty множества всех последовательностей элементов множества X операция f будет определяться следующим образом:

f \left( x_1, x_2, \cdots, x_N \right) = ( f \left( x_{1n}, x_{2n}, \cdots, x_{Nn} \right) )_{n=1}^\infty


Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей (x_n) и (y_n) называется числовая последовательность (z_n) такая, что z_n = x_n + y_n.

Разностью числовых последовательностей (x_n) и (y_n) называется числовая последовательность (z_n) такая, что z_n = x_n - y_n .

Произведением числовых последовательностей x_n и y_n называется числовая последовательность (z_n) такая, что z_n = x_n \cdot y_n.

Частным числовой последовательности x_n и числовой последовательности y_n, все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность z_n = \left( \frac{x_n}{y_n} \right)_{n=1}^\infty. Если в последовательности y_n на позиции k \neq 1 всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность z_n = \left(\frac{x_n}{y_n} \right)_{n=1}^{k-1}.

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

Подпоследовательности[править | править исходный текст]

Подпоследовательность последовательности (x_n) — это последовательность (x_{n_k}), где (n_k) — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
  • Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.
  • Для всякой подпоследовательности (x_{k_n}) верно, что \forall n \in \N \colon k_n \geqslant n.
  • Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.
  • Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.
  • Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.
  • Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
  • Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Предельная точка последовательности[править | править исходный текст]

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.

Предел последовательности[править | править исходный текст]

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Некоторые виды последовательностей[править | править исходный текст]

  • Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.
    (x_n) стационарная \Leftrightarrow \left( \exists N \in \N ~ \forall i,j \in \N \colon \left( i \geqslant N \right) \and \left( j \geqslant N \right) \Rightarrow \left( x_i = x_j \right) \right)

Ограниченные и неограниченные последовательности[править | править исходный текст]

В предположении о линейной упорядоченности множества X элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностей.

  • Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества X, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.
    (x_n) ограниченная сверху \Leftrightarrow \exists M \in X ~ \forall n \in \N \colon x_n \leqslant M
  • Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества X, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.
    (x_n) ограниченная снизу \Leftrightarrow \exists m \in X ~ \forall n \in \N \colon x_n \geqslant m
  • Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.
    (x_n) ограниченная \Leftrightarrow \exists m,M \in X ~ \forall n \in \N \colon m \leqslant x_n \leqslant M
  • Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.
    (x_n) неограниченная \Leftrightarrow \forall m,M \in X ~ \exists n \in \N \colon \left( x_n < m \right) \or \left( x_n > M \right)

Критерий ограниченности числовой последовательности[править | править исходный текст]

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

(x_n) ограниченная \Leftrightarrow \exists A \in \R ~ \forall n \in \N \colon | x_n | \leqslant A

Свойства ограниченных последовательностей[править | править исходный текст]

  • Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
  • Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
  • Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.
  • У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
  • Для любого наперёд взятого положительного числа \varepsilon все элементы ограниченной числовой последовательности \left(x_n \right)_{n = 1}^{\infty}, начиная с некоторого номера, зависящего от \varepsilon, лежат внутри интервала \left(\varliminf_{n \to \infty} x_n - \varepsilon, \varlimsup_{n \to \infty} x_n + \varepsilon \right).
  • Если за пределами интервала \left( a, b \right) лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности \left(x_n \right)_{n = 1}^{\infty}, то интервал \left(\varliminf_{n \to \infty} x_n, \varlimsup_{n \to \infty} x_n \right) содержится в интервале \left( a, b \right).
  • Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности[править | править исходный текст]

Свойства бесконечно малых последовательностей[править | править исходный текст]

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

  • Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
  • Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
  • Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
  • Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
  • Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  • Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
  • Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
  • Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
  • Если (x_n) — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1 / x_n), которая является бесконечно малой. Если же (x_n) всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1 / x_n) всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно малой.
  • Если (\alpha_n) — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1 / \alpha_n), которая является бесконечно большой. Если же (\alpha_n) всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1 / \alpha_n) всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно большой.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности[править | править исходный текст]

  • Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества X, имеющая предел в этом множестве.
  • Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей[править | править исходный текст]

  • Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
  • Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
  • Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
  • Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
  • Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
  • Если последовательность (x_n) сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность (1 / x_n), которая является ограниченной.
  • Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
  • Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
  • Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
  • Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
  • Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
  • Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
  • Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
  • Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
  • Любую сходящуюся последовательность (x_n) можно представить в виде (x_n) = (a + \alpha_n), где a — предел последовательности (x_n), а \alpha_n — некоторая бесконечно малая последовательность.
  • Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонные последовательности[править | править исходный текст]

Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.

Фундаментальные последовательности[править | править исходный текст]

Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

Числовая последовательность- это функция, заданная на множестве натуральных чисел.


См. также[править | править исходный текст]