Перпендикулярность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Перпендикуля́рностьбинарное отношение между различными объектами (векторами, прямыми, подпространствами и т. д.) в евклидовом пространстве[источник не указан 107 дней]. Частный случай ортогональности.

На плоскости[править | править вики-текст]

Перпендикулярные прямые на плоскости[править | править вики-текст]

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.

В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями y=\operatorname{tg}\alpha_1 x+b_1 и y=\operatorname{tg}\alpha_2 x+b_2 будут перпендикулярны, если выполнено условие \alpha_2=\frac{1}{2}\pi+\alpha_1. Эти же прямые будут перпендикулярны, если \operatorname{tg}\alpha_1 \operatorname{tg}\alpha_2 =-1. (Здесь \alpha_1,\alpha_2 — углы наклона прямой к горизонтали)

Для обозначения перпендикулярности имеется общепринятый символ: \perp, предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.

Построение перпендикуляра[править | править вики-текст]

Построение перпендикуляра

Шаг 1: (красный) С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А' и В'.

Шаг 2: (зелёный) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A' и В' соответственно, проходящими через точку Р. Кроме точки Р есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.

Шаг 3: (синий) Соединяем точки Р и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой АВ.

Координаты точки основания перпендикуляра к прямой[править | править вики-текст]

A(x_a,y_a) и B(x_b,y_b) — прямая, O(x_o,y_o) — основание перпендикуляра, опущенного из точки P(x_p,y_p).

Если x_a = x_b (вертикаль), то x_o = x_a и y_o = y_p. Если y_a = y_b (горизонталь), то x_o = x_p и y_o = y_a.

Во всех остальных случаях:

x_o = \frac{x_a\cdot(y_b-y_a)^2 +x_p\cdot(x_b-x_a)^2 +  (x_b-x_a)\cdot(y_b-y_a)\cdot(y_p-y_a)}{(y_b-y_a)^2+(x_b-x_a)^2};
y_o = \frac{(x_b-x_a)\cdot(x_p-x_o)}{(y_b-y_a)}+y_p.

В трёхмерном пространстве[править | править вики-текст]

Перпендикулярные прямые[править | править вики-текст]

Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим взаимно перпендикулярным прямым, лежащим в одной плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости[править | править вики-текст]

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.

Признак: Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Перпендикулярные плоскости[править | править вики-текст]

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.

  • Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
  • Если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоскости, то этот перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.
  • Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
  • Плоскость, перпендикулярная двум пересекающимся плоскостям, перпендикулярна их линии пересечения[1].

В многомерных пространствах[править | править вики-текст]

Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве[править | править вики-текст]

Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.

Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.

В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).

Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Количество таких пар равно \tbinom{4}{2}=6: xy, xz, xt, yz, yt, zt, и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz, yz и zt), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt, yz и xt).

Перпендикулярность прямой и гиперплоскости[править | править вики-текст]

Пусть задано n-мерное евклидово пространство \mathbb{R}^n(n>2) и ассоциированное с ним векторное пространство W^n, а прямая l с направляющим векторным пространством L^1 и гиперплоскость \Pi_{k} с направляющим векторным пространством L^{k} (где L_1 \subset W^n, L^k \subset W^n,\ k < n ) принадлежат пространству \mathbb{R}^n.

Прямая l называется перпендикулярной гиперплоскости \Pi_{k}, если подпространство L_1 ортогонально подпространству L^{k}, то есть (\forall \vec a \in L_1)\ (\forall \vec b \in L_k)\ \vec a \vec b=0

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В.И. Стереометрия. Геометрия в пространстве. — Висагинас: Alfa, 1998. — С. 46. — 576 с. — (Библиотека школьника). — ISBN 9986582539