Перпендикулярность

Перпендикуля́рность — бинарное отношение между различными объектами (векторами, прямыми, подпространствами и т. д.) в евклидовом пространстве. Частный случай ортогональности.

На плоскости

Перпендикулярные прямые на плоскости

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.

В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями $y=\operatorname{tg}\alpha_1 x+b_1$ и $y=\operatorname{tg}\alpha_2 x+b_2$ будут перпендикулярны, если выполнено условие $\alpha_2=\frac{1}{2}\pi+\alpha_1$. Эти же прямые будут перпендикулярны, если $\operatorname{tg}\alpha_1 \operatorname{tg}\alpha_2 =-1$. (Здесь $\alpha_1,\alpha_2$ — углы наклона прямой к горизонтали)

Для обозначения перпендикулярности имеется общепринятый символ: $\perp$, предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.

Построение перпендикуляра

Построение перпендикуляра

Шаг 1: (красный) С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А' и В'.

Шаг 2: (зелёный) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A' и В' соответственно, проходящими через точку Р. Кроме точки Р есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.

Шаг 3: (синий) Соединяем точки Р и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой АВ.

Координаты точки основания перпендикуляра к прямой

$A(x_a,y_a)$ и $B(x_b,y_b)$ — прямая, $O(x_o,y_o)$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $P(x_p,y_p)$.

Если $x_a = x_b$ (вертикаль), то $x_o = x_a$ и $y_o = y_p$. Если $y_a = y_b$ (горизонталь), то $x_o = x_p$ и $y_o = y_a$.

Во всех остальных случаях:

$x_o = \frac{x_a*(y_b-y_a)^2 +x_p*(x_b-x_a)^2 + (x_b-x_a)*(y_b-y_a)*(y_p-y_a)}{(y_b-y_a)^2+(x_b-x_a)^2}$;

$y_o = \frac{(x_b-x_a)*(x_p-x_o)}{(y_b-y_a)}+y_p$.

В трёхмерном пространстве

Перпендикулярные прямые

Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим прямым, лежащим в одной плоскости и перпендикулярным в ней.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна всем прямым лежащим в этой плоскости.

Признак: Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Перпендикулярные плоскости

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.

• Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
• Если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоскости, то этот перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.
• Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
• Плоскость, перпендикулярная двум пересекающимся плоскостям, перпендикулярна их линии пересечения.

В многомерных пространствах

Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве

Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.

Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.

В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).

Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Количество таких пар равно $\tbinom{4}{2}=6$: xy, xz, xt, yz, yt, zt, и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz, yz и zt), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt, yz и xt).

Перпендикулярность прямой и гиперплоскости

Пусть задано n-мерное евклидово пространство $\mathbb{R}^n$(n>2) и ассоциированное с ним векторное пространство $W^n$, а прямая l с направляющим векторным пространством $L^1$ и гиперплоскость $\Pi_{k}$ с направляющим векторным пространством $L^{k}$ (где $L_1 \subset W^n$, $L^k \subset W^n,\ k < n$) принадлежат пространству $\mathbb{R}^n$.

Прямая l называется перпендикулярной гиперплоскости $\Pi_{k}$, если подпространство $L_1$ ортогонально подпространству $L^{k}$, то есть $(\forall \vec a \in L_1)\ (\forall \vec b \in L_k)\ \vec a \vec b=0$

См. также

• Параллельность
• Ортогональность
• Высота
• Теорема о трёх перпендикулярах
• N-мерная евклидова геометрия