Приведённая масса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Приведённая масса — условная характеристика распределения масс в движущейся механической или смешанной (например, электро-механической) системе, зависящая от физических параметров системы (масс, моментов инерции, индуктивности и др.) и от её закона движения[1].

Обычно приведенная масса \mu \, определяется из равенства  T = 1/2 \,\mu v^2 \ , где  T \, кинетическая энергия системы, а  v \, скорость той точки системы, к которой приводится масса. В более общем виде приведённая масса является коэффициентом инерции \mu_{ij} \, в выражении кинетической энергии системы со стационарными связями, положение которой определяется  s \, обобщёнными координатами  r_i : \,

 2T = \sum^s_{i, \, j = 1} \mu_{ij}\,  \dot{r_i}  \dot{r_j} \, ,

где точка означает дифференцирование по времени, а \mu_{ij} \ есть функции обобщённых координат.

Задача двух тел[править | править вики-текст]

В задаче двух тел, возникающей, например, в небесной механике или теории рассеяния, приведённая масса появляется как некая эффективная масса, когда задачу двух тел сводят к двум задачам об одном теле. Рассмотрим два тела: одно с массой m_{1} \ и другое с массой  m_{2} \ . В эквивалентной проблеме одного тела рассматривают движение тела с приведённой массой, равной

\mu =  {1 \over {{1 \over m_1} + {1 \over m_2}}} = {{m_1 m_2} \over {m_1 + m_2}}\ ,

где сила, действующая на эту массу, дается силой, действующей между этими двумя телами. Видно, что приведённая масса равна половине среднего гармонического двух масс.

Приведённая масса всегда меньше каждой из масс  m_1 \ или  m_2 \ или равна одной из них, если эта масса равна нулю. Пусть масса  m_2 \ значительно меньше массы  m_1 \ \, ( m_2 \ll m_1 ), тогда приближённое выражение для приведенной массы будет

 \mu =\frac{m_2}{1+m_2/m_1} \approx m_2 (1- \frac{m_2}{m_1})\approx m_\mathrm 2\ .

Движение тела с приведенной массой[править | править вики-текст]

Используя второй закон Ньютона, можно найти, что воздействие тела 2 на тело 1 задаётся силой

 F_{12} = m_1 a_1. \!\,

Тело 1 оказывает влияние на тело 2 посредством силы

 F_{21} = m_2 a_2. \!\,

В силу третьего закона Ньютона эти две силы равны и противоположны по направлению:

 F_{12} = - F_{21}.\!\,

Таким образом, имеем

 m_1 a_1 = - m_2 a_2 \!\,

или

 a_2=-{m_1 \over m_2} a_1. \!\,

Тогда относительное ускорение между двумя телами будет даваться выражением

 a= a_1-a_2 = \left({1+{m_1 \over m_2}}\right) a_1 = {{m_2+m_1}\over{m_1 m_2}} m_1 a_1 = {F_{12} \over \mu}.

Тогда можно заключить, что тело 1 двигается относительно положения тела 2 (и в поле силового воздействия тела 2) как тело с массой, равной приведённой массе  \mu \, .

Применение[править | править вики-текст]

Приведенная масса может иметь отношение к более общим алгебраическим выражениям, которые задают взаимосвязь элементов системы и имеют вид

\ {1\over x_\text{eq}} = \sum_{i=1}^n {1\over x_i} = {1\over x_1} + {1\over x_2} + \cdots+ {1\over x_n}\ ,

где  x_i \  — характеристика i-го элемента системы (например, сопротивление резистора в параллельной цепи),  x_{eq} \  — эквивалентная характеристика всей системы n элементов (например, полное сопротивление параллельного участка цепи). Такого рода выражения возникают во многих областях физики.

Понятие приведённой массы может встречаться в инженерных науках, например при расчётах конструкций на ударную нагрузку[2].

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]