Среднее гармоническое

Средним гармоническим нескольких положительных чисел называется число, обратное среднему арифметическому их обратных, то есть число

$A_{-1}(x_1, \ldots, x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}$

Свойства

• Среднее гармоническое является средним степени −1.
• Неравенство о средних утверждает, что среднее гармоническое чисел не превосходит среднее геометрическое и среднее арифметическое.

У трапеции длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям равна среднему гармоническому длин оснований.

Приложения и примеры

В статистике среднее гармоническое применяется в случае, когда наблюдения, для которых требуется получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями.

В формуле тонкой линзы удвоенное фокусное расстояние равно среднему гармоническому расстояния от линзы до предмета и расстояния от линзы до изображения. Подобным образом среднее гармоническое входит и в аналогичную формулу для сферического зеркала.

См. также

• Среднее гармоническое взвешенное