Центр масс

Центр масс, центр ине́рции, барице́нтр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр) — (в механике) геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого. Не является тождественным понятию центра тяжести (хотя чаще всего совпадает).

Определение

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом:

$\vec r_c= \frac{\sum \limits_i m_i \vec r_i}{\sum \limits_i m_i},$

где $\vec r_c$ — радиус-вектор центра масс, $\vec r_i$ — радиус-вектор i-й точки системы, $~ m_i$ — масса i-й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

$\vec r_c = {1 \over M} \int \limits_V \rho(\vec r) \vec r dV,$

$M = \int \limits_V \rho(\vec r) dV,$

где $~ M$ — суммарная масса системы, $~ V$ — объём, $~ \rho$ — плотность. Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Можно показать, что если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами $M_i$, то радиус-вектор центра масс такой системы $R_c$ связан с радиус-векторами центров масс тел $R_{ci}$ соотношением:

$\vec R_c= \frac{\sum \limits_i M_i\vec R_{ci}}{\sum \limits_i M_i}.$

Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

Центры масс однородных фигур

• У отрезка — середина.
• У многоугольников (как сплошных плоских фигур, так и каркасов):
  • У параллелограмма — пересечение диагоналей.
  • У треугольника — точка пересечения медиан (центроид).
• У правильного многоугольника — центр поворотной симметрии.

Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Гульдина):

$x_s = \frac{V_y}{2\pi S}$ и $y_s = \frac{V_x}{2\pi S}$, где $V_x, V_y$ — объем тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, $S$ — площадь фигуры.

В механике

Понятие центра масс широко используется в механике и физике.

Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

Центр масс в релятивистской механике

В случае высоких скоростей (порядка скорости света) (например, в физике элементарных частиц) для описания динамики системы применяется аппарат СТО. В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:

$\vec r_c= \frac{\sum \limits_i \vec r_i E_i}{\sum \limits_i E_i},$

где $\vec r_c$ — радиус-вектор центра масс, $\vec r_i$ — радиус-вектор i-й частицы системы, $~ E_i$ — полная энергия i-й частицы.

Данное определение относится только к системам невзаимодействующих частиц. В случае взаимодействующих частиц в определении должны в явном виде учитываться импульс и энергия поля, создаваемого частицами.

Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лившица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» (center-of-mass). Оба термина эквивалентны.

Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

$\vec v_c= \frac{c^2}{\sum \limits_i E_i} \cdot \sum \limits_i \vec p_i.$

Центр тяжести

Центр масс тела не следует путать с центром тяжести.

Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на систему, равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес массы P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

В постоянном параллельном (однородном) гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. Поэтому на практике эти два центра почти совпадают (так как внешнее гравитационное поле в некосмических задачах может считаться постоянным в пределах объёма тела).

По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (так как реального гравитационного поля нет и не имеет смысла учёт его неоднородности). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

См. также

• Классическая механика
• Теоретическая механика
• Теорема о движении центра масс системы
• Неваляшка