Признак сравнения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть даны два знакоположительных ряда:

\sum_{n=1}^\infty a_n и \sum_{n=1}^\infty b_n
.

Тогда, если, начиная с некоторого места (n>N), выполняется неравенство:

0 \leqslant a_n \leqslant b_n,

то из сходимости ряда \sum_{n=1}^\infty b_n следует сходимость \sum_{n=1}^\infty a_n.

Или же, если ряд \sum_{n=1}^\infty a_n расходится, то расходится и \sum_{n=1}^\infty b_n.

Доказательство[править | править вики-текст]

Обозначим \sigma_n частные суммы ряда \sum b_k. Из неравенств (*) следует, что \,0 \leqslant s_n \leqslant \sigma_n, \forall n. Поэтому из ограниченности \,(\sigma_n) вытекает ограниченность \,(s_n), а из неограниченности \,(s_n) следует неограниченность \,(\sigma_n). Справедливость признака вытекает из критерия сходимости для \sum b_k.


Признак сравнения отношений[править | править вики-текст]

Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений.

Формулировка[править | править вики-текст]

Если для членов строго положительных рядов \sum_{n=1}^\infty a_n и \sum_{n=1}^\infty b_n, начиная с некоторого места (n>N), выполняется неравенство:

\frac{a_{n+1}}{a_n} \leqslant \frac{b_{n+1}}{b_n},

то из сходимости ряда \sum_{n=1}^\infty b_n следует сходимость \sum_{n=1}^\infty a_n, а из расходимости \sum_{n=1}^\infty a_n следует расходимость \sum_{n=1}^\infty b_n.

Доказательство[править | править вики-текст]

Перемножая неравенства, составленные для \,k = 1, 2, ..., n - 1,, получаем

\frac{a_n}{a_1} \leqslant \frac{b_n}{b_1}, или a_n \leqslant \frac{a_1}{b_1} \,b_n, \forall n.

Дальше достаточно применить признак сравнения для положительных рядов \sum a_k и \sum \frac{a_1}{b_1} \,b_k.


Предельный признак сравнения[править | править вики-текст]

Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме.

Формулировка[править | править вики-текст]

Если \sum_{n=1}^\infty a_n и \sum_{n=1}^\infty b_n есть строго положительные ряды и

\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} = l,

то при 0 \leqslant l < \infty из сходимости \sum_{n=1}^\infty b_n следует сходимость \sum_{n=1}^\infty a_n, а при 0 < l \leqslant \infty из расходимости \sum_{n=1}^\infty b_n следует расходимость \sum_{n=1}^\infty a_n.

Доказательство[править | править вики-текст]

Если a_k/b_k \xrightarrow \,l, l < +\infty, то для достаточно больших \,k

\,a_k \leqslant (l + 1)b_k, \forall k \geqslant m.(3)

Из ограниченности частных сумм \sum b_k следует ограниченность частных сумм \sum (l + 1)b_{m+k}. Соотношения \,(3) обеспечивают на основании признака сравнения сходимость \sum a_{m+k} и вместе с тем сходимость \sum a_k. Если же a_k/b_k \xrightarrow \,l, l >0, то b_k/a_k \xrightarrow \,\lambda, \lambda <+\infty, и \sum a_k не может сходиться при расходящемся \sum b_k.


Литература[править | править вики-текст]

  • Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
  • Г. М. Фихтенгольц Теоремы сравнения рядов // Основы математического анализа. — СПб.: Лань, 2001. — Т. 2. — С. 17-19. — 464 с. — ISBN 5-8114-0191-4.

Ссылки[править | править вики-текст]