Признак Абеля

Признак Абеля сходимости несобственных интегралов

Признак Абеля дает достаточные условия сходимости несобственного интеграла.

Признак Абеля для несобственного интеграла I-рода (для бесконечного промежутка). Пусть функции $\ f(x)$ и $\ g(x)$ определены на промежутке $\ [a, \infty)$. Тогда несобственный интеграл $\ \int\limits_{a}^{\infty} f(x)g(x)dx$ сходится, если выполнены следующие условия:

1. Функция $\ f(x)$ интегрируема на $\ [a, \infty)$.
2. Функция $\ g(x)$ ограничена и монотонна.

Признак Абеля для несобственного интеграла II-рода (для функций с конечным числом разрывов). Пусть функции $\ f(x)$ и $\ g(x)$ определены на промежутке $\ (a, b]$. Тогда несобственный интеграл $\ \int\limits_{a}^{b} f(x)g(x)dx$ сходится если выполнены следующие условия:

1. Функция $\ f(x)$ интегрируема на $\ (a, b]$ т.е. сходится интеграл $\ \int\limits_{a}^{b} f(x) dx$
2. Функция $\ g(x)$ ограничена и монотонна на $\ (a, b]$.

Признак Абеля сходимости числовых рядов

Признак Абеля дает достаточные условия сходимости числового ряда.

Числовой ряд $\sum_{n=0}^\infty {a_n}{b_n}$ сходится, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность $\ a_n$ монотонна и ограничена.
2. Числовой ряд $\sum_{n=0}^\infty {b_n}$ сходится.

Признак Абеля сходимости функциональных рядов

Признак Абеля дает достаточные условия равномерной сходимости функционального ряда. Функциональный ряд

$\sum_{n=0}^\infty {{a_n}(x)}{{u_n}(x)}$,

где $\ {a_n}(x): E \mapsto \mathbb{R}, {u_n}(x): E \mapsto \mathbb{C}, E \subseteq \mathbb{R}^d$, сходится равномерно на множестве $\ E$, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций $\ {a_n}(x)$ равномерно ограничена на $\ E$ и монотонна для любых $\ x$ из $\ E$.
2. Функциональный ряд комплекснозначных функций $\sum_{n=0}^\infty{{u_n}(x)}$ равномерно сходится на $\ E$.

См. также

• Признак Д’Аламбера
• Признак Дирихле
• Радикальный Признак Коши
• Интегральный признак Коши

Ссылки

• О.В.Бесов Лекции по математическому анализу Ч. 1. — М.: МФТИ, 2004. — 327 с. c 253-254, c 277, c 290-291
• Л.Д. Кудрявцев Краткий курс математического анализа. — М.: Физматлит, 2005. — 400 с. c 316 — 318 (прямая ссылка: http://dwl.alleng.ru/d_ar/math/math99_1.zip)