Признак Абеля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Признак Абеля сходимости несобственных интегралов[править | править вики-текст]

Признак Абеля дает достаточные условия сходимости несобственного интеграла.

Признак Абеля для несобственного интеграла I-рода (для бесконечного промежутка). Пусть функции \ f(x) и \ g(x) определены на промежутке \ [a, \infty). Тогда несобственный интеграл \ \int\limits_{a}^{\infty} f(x)g(x)dx сходится, если выполнены следующие условия:

  1. Функция \ f(x) интегрируема на \ [a, \infty) .
  2. Функция \ g(x) ограничена и монотонна.

Признак Абеля для несобственного интеграла II-рода (для функций с конечным числом разрывов). Пусть функции \ f(x) и \ g(x) определены на промежутке \ (a, b]. Тогда несобственный интеграл \ \int\limits_{a}^{b} f(x)g(x)dx сходится если выполнены следующие условия:

  1. Функция \ f(x) интегрируема на \ (a, b] т.е. сходится интеграл \ \int\limits_{a}^{b} f(x) dx
  2. Функция \ g(x) ограничена и монотонна на \ (a, b].


Признак Абеля сходимости числовых рядов[править | править вики-текст]

Признак Абеля дает достаточные условия сходимости числового ряда.

Числовой ряд \sum_{n=1}^\infty {a_n}{b_n} сходится, если выполнены следующие условия:

  1. Последовательность \ a_n монотонна и ограничена.
  2. Числовой ряд \sum_{n=1}^\infty {b_n} сходится.

Признак Абеля сходимости функциональных рядов[править | править вики-текст]

Признак Абеля дает достаточные условия равномерной сходимости функционального ряда. Функциональный ряд

\sum_{n=1}^\infty {{a_n}(x)}{{u_n}(x)},

где \ {a_n}(x): E \mapsto \mathbb{R}, {u_n}(x): E \mapsto \mathbb{C}, E \subseteq \mathbb{R}^d, сходится равномерно на множестве \ E, если выполнены следующие условия:

  1. Последовательность действительнозначных функций \ {a_n}(x) равномерно ограничена на \ E и монотонна для любых \ x из \ E.
  2. Функциональный ряд комплекснозначных функций \sum_{n=1}^\infty{{u_n}(x)} равномерно сходится на \ E.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]