Интегральный признак Коши — Маклорена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Интегральный признак Коши́-Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши-Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на [1,\infty), последний часто может быть найден в явном виде.

Формулировка теоремы[править | править вики-текст]

Пусть для функции f(x) выполняется:

  1. \forall x: f(x)\geqslant 0 (функция принимает неотрицательные значения)
  2. \forall x_1  \forall x_2:  f(x_1)>f(x_2) \Leftrightarrow x_1 < x_2 (функция монотонно убывает)
  3. \forall n \in \N: f(n) = a_n (соответствие функции ряду)

Тогда ряд \sum_{n=1}^\infty a_n и несобственный интеграл \int\limits_1^\infty\!f(x)\,dx сходятся или расходятся одновременно.


Набросок доказательства[править | править вики-текст]

Инт признак Коши.png
  1. Построим на графике f(x) ступенчатые фигуры как показано на рисунке
  2. Площадь большей фигуры равна S_b=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n-1)
  3. Площадь меньшей фигуры равна S_s=f(2)+f(3)+f(4)+...+f(n)
  4. Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна S_{tr}=\int\limits_1^n f(x)\,dx
  5. Получаем S_s \leqslant S_{tr} \leqslant S_b \;  \Rightarrow \; S_n - a_1 \leqslant \int\limits_1^n f(x)\,dx \leqslant S_{n-1}
  6. Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.

Примеры[править | править вики-текст]

  • \sum\frac1n расходится так как \int\limits_1^\infty\frac1xdx=\ln x|_1^\infty=\infty.
  • \sum\frac1{n^2} сходится так как \int\limits_1^\infty\frac1{x^2}dx=-\left.\frac1x\right|_1^\infty=1.

Оценка остатка ряда[править | править вики-текст]

Интегральный признак Коши позволяет оценить остаток r_n знакоположительного ряда. Из полученного в доказательстве выражения

S_n - a_1 \leqslant \int\limits_1^n f(x)\,dx \leqslant S_{n-1}

с помощью несложных преобразований получаем:

\int\limits_{n+1}^\infty f(x)\,dx \leqslant r_n \leqslant \int\limits_n^\infty f(x)\,dx \leqslant a_n + \int\limits_{n+1}^\infty f(x)\,dx.

См. также[править | править вики-текст]