Интегральный признак Коши — Маклорена

Интегральный признак Коши́-Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши-Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на $[1,\infty)$, последний часто может быть найден в явном виде.

Формулировка теоремы

Пусть для функции f(x) выполняется: $\forall x: f(x)\geqslant 0$ (функция принимает неотрицательные значения) $\forall x_1 \forall x_2: f(x_1)>f(x_2) \Leftrightarrow x_1 < x_2$ (функция монотонно убывает) $\forall n \in \N: f(n) = a_n$ (соответствие функции ряду) Тогда ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$ и несобственный интеграл $\int\limits_1^\infty\!f(x)\,dx$ сходятся или расходятся одновременно.

Набросок доказательства

1. Построим на графике f(x) ступенчатые фигуры как показано на рисунке
2. Площадь большей фигуры равна $S_b=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n-1)$
3. Площадь меньшей фигуры равна $S_s=f(2)+f(3)+f(4)+...+f(n)$
4. Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна $S_{tr}=\int\limits_1^n f(x)\,dx$
5. Получаем $S_s \leqslant S_{tr} \leqslant S_b \; \Rightarrow \; S_n - a_1 \leqslant \int\limits_1^n f(x)\,dx \leqslant S_{n-1}$
6. Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.

Примеры

• $\sum\frac1n$ расходится так как $\int\limits_1^\infty\frac1xdx=\ln x|_1^\infty=\infty$.
• $\sum\frac1{n^2}$ сходится так как $\int\limits_1^\infty\frac1{x^2}dx=-\left.\frac1x\right|_1^\infty=1$.

Оценка остатка ряда

Интегральный признак Коши позволяет оценить остаток $r_n$ знакоположительного ряда. Из полученного в доказательстве выражения

$S_n - a_1 \leqslant \int\limits_1^n f(x)\,dx \leqslant S_{n-1}$

с помощью несложных преобразований получаем:

$\int\limits_{n+1}^\infty f(x)\,dx \leqslant r_n \leqslant \int\limits_n^\infty f(x)\,dx \leqslant a_n + \int\limits_{n+1}^\infty f(x)\,dx$.

См. также

• Признак Абеля
• Признак сходимости д’Аламбера
• Радикальный признак Коши
• Интеграл Коши