Пространство модулей

Пространство модулей в алгебраической геометрии — это геометрическое пространство (например, схема, комплексное или алгебраическое пространство), точки которого соответствуют некоторому классу алгебро-геометрических объектов $A$, факторизованному по некоторому отношению эквивалентности $R$. Такие пространства часто возникают как решения классификационных задач: если множество интересующих нас объектов (например, гладких алгебраических кривых рода $g$, рассматриваемых с точностью до изоморфизма), может быть снабжено структурой геометрического пространства, то можно параметризовать данные объекты, введя координаты на этом пространстве. В данном контексте термин «модули» синонимичен термину «параметры»: пространства модулей первоначально понимались как пространства параметров, а не пространства объектов.

История

Теория модулей возникла при изучении эллиптических функций: существует семейство различных полей эллиптических функций (или их моделей — неизоморфных эллиптических кривых над $\mathbb {C}$), параметризованное комплексными числами. Бернхард Риман, которому принадлежит и сам термин «модули», показал, что компактные римановы поверхности рода $g\geqslant 2$ зависят от $3g-3$ комплексных параметров — модулей.

Определения

Пусть $S$ — некоторая схема (комплексное или алгебраическое пространство). Семейство объектов, параметризованное схемой $S$ (или, как часто говорят, над $S$ или с базой $S$) — это набор объектов $\{X_{s}|s\in S,X_{s}\in A\}$, снабжённый дополнительной структурой, согласованной со структурой базы $S$. Эта структура в каждом конкретном случае задаётся явно. Функтор модулей (или функтор семейств) — это контравариантный функтор ${\mathcal {M}}$ из категории схем (или пространств) в категорию множеств, определяемый следующим образом: ${\mathcal {M}}(S)$ — множество классов изоморфных семейств над $S$, а морфизму $f:S\to T$ сопоставляется отображение $f^{*}:{\mathcal {M}}(T)\to {\mathcal {M}}(S)$ посредством взятия индуцированного семейства.

Если функтор модулей ${\mathcal {M}}$ представим с помощью схемы (или пространства) $M$, то $M$ называется тонким пространством модулей для функтора ${\mathcal {M}}$. В этом случае существует универсальное семейство $U$ с базой $M$, то есть произвольное семейство $T$ с базой $S$ индуцируется семейством $U$ при помощи единственного отображения $f:S\to M$.

Функтор модулей представим в очень немногих случаях, в связи с чем было введено также понятие грубого пространства модулей. Схема $M$ называется грубым пространством модулей для функтора ${\mathcal {M}}$. если существует естественное преобразование $\varphi :{\mathcal {M}}\to \mathrm {Hom} (\cdot ,M)$, такое, что

1. если $K$ — алгебраически замкнутое поле, то отображение $\varphi (\mathrm {Spec} \,K):{\mathcal {M}}(\mathrm {Spec} \,K)\to \mathrm {Hom} (\mathrm {Spec} \,K,M)$ биективно;
2. для произвольной схемы $M'$ и естественного преобразования $\varphi ':{\mathcal {M}}\to \mathrm {Hom} (\cdot ,M')$ существует единственный морфизм $\pi :M\to M'$, такой, что для ассоциированного естественного преобразования $\Pi :\mathrm {Hom} (\cdot ,M)\to \mathrm {Hom} (\cdot ,M')$ выполняется $\varphi =\Pi \circ \varphi '$.

Интуитивно, замкнутые точки грубой схемы модулей соответствуют элементам $A/R$, а геометрия этой схемы отражает то, каким образом объекты класса $A$ могут варьироваться в семействах. С другой стороны, над грубой схемой модулей может уже не существовать универсального семейства.

Примеры

Кривые

Пусть $A/R=\mathbf {M} _{g}$ (соответственно, ${\overline {\mathbf {M} _{g}}}$) — множество классов изоморфных проективных гладких связных кривых (соответственно, стабильных кривых) рода $g\geqslant 2$ над алгебраически замкнутым полем $K$. Семейство над $S$ — это гладкий (плоский) собственный морфизм $f:X\to S$, слоями которого являются гладкие (стабильные) кривые рода $g$. Тогда существует грубая схема модулей $M_{g}$ (соответственно, ${\overline {M_{g}}}$), являющаяся квазипроективным (проективным) неприводимым и нормальным многообразием над $K$.

Векторные расслоения

Пусть $A/R$ — множество классов изоморфных векторных расслоений ранга $n$ на алгебраическом многообразии $X$. Семейство над $S$ — это векторное расслоение на $X\times S$. В случае, когда $X$ — это неособая проективная кривая над алгебраически замкнутым полем, существует нормальное проективное многообразие ${\overline {M_{d,n}}}$, являющееся грубым пространством модулей полустабильных векторных расслоений ранга $n$ и степени $d$ на $X$. Стабильные векторные расслоения параметризуются открытым гладким подмногообразием $M_{d,n}\subset {\overline {M_{d,n}}}$. Если $d$ и $n$ взаимно просты, $M_{d,n}$ совпадает с ${\overline {M_{d,n}}}$ и является тонким пространством модулей.

Литература

• Модулей теория — статья из Математической энциклопедии. В. А. Исковских
• Дж. Харрис, Я. Моррисон. Модули кривых. Вводный курс / пер. с англ. под ред. С. К. Ландо. — Москва: Мир, 2004.
• К. Оконек, М. Шнайдер, Х. Шпиндлер. Векторные расслоения на комплексных проективных пространствах / пер. с англ. под ред. Ю. И. Манина. — Москва: Мир, 1984.