Псевдосфера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Псевдосфера

Псевдосфе́ра (поверхность Бельтра́ми) — поверхность постоянной отрицательной кривизны, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты. Название подчёркивает сходство и различие со сферой, которая является примером поверхности с кривизной, также постоянной, но положительной.

История[править | править вики-текст]

Впервые исследована Миндингом в 1839 — 1840 гг. В частности, им было показано, что понятия группы движений и конгруэнтных фигур имеют смысл лишь на поверхностях постоянной кривизны. Название «псевдосфера» поверхности дал Бельтрами. Он же обратил внимание на то, что псевдосфера реализует локальную модель геометрии Лобачевского, наряду с моделью Пуaнкаре и моделью Клейна.

Характеристики[править | править вики-текст]

Если трактрису задать в плоскости Oxz параметрическими уравнениями

x = a · sin u,
y = 0,
z = a · (ln tg(u/2) + cos u),

то параметрическими уравнениями псевдосферы будут

x = a · sin u · cos v,
y = a · sin u · sin v,
z = a · (ln tg(u/2) + cos u).

Первая квадратичная форма:

ds^2=a^2\operatorname{ctg}^2u \,du^2+a^2\sin^2u \,dv^2

Вторая квадратичная форма:

\phi _2 = a(-\operatorname{ctg} u\, du^2+\sin u\cos u \,dv^2)

Гауссова кривизна псевдосферы постоянна, отрицательна и равна −1/.

Источники[править | править вики-текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «псевдосфера»

Литература[править | править вики-текст]

  • Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, М., 1990. ISBN 978-5-9775-0419-5.
  • Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — УРСС, М., 2007. ISBN 978-5-484-00871-1.
  • Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Факториал, М., 2000.
  • Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны, — Наука, М., 1982.