Трактриса

Общий вид графика

Трактри́са (линия влечения) — (от лат. trahere — тащить) — плоская трансцендентная кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксированной прямой является постоянной величиной.

Такую линию описывает предмет, волочащийся на верёвке длины a за точкой, движущейся по оси абсцисс. Трактриса также является кривой погони.

Уравнения

• Параметрическое описание:

  $x = \pm\ a \cdot \left(\ln {\operatorname{tg} {\frac{t}{2}}} + \cos t \right)~$

  $y = a \cdot \sin t~$

• Уравнение в декартовых координатах:

  $x = \pm\ \left(a \ln {{a + \sqrt{a^2-y^2}} \over y}-\sqrt{a^2-y^2}\right)$, при $y \in (0,a)~$

Свойства

• Площадь, ограниченная трактрисой и её асимптотой:

  $S = {{\pi a^2} \over 2} ~$

• Длина дуги, от точки (0 ; a) до произвольной точки трактрисы:

  $s_l = -a \ln \sin t ~$

• Радиус кривизны:

  $R = a \; \operatorname{ctg} \; t$

• Поверхность вращения трактрисы вокруг своей асимптоты (оси x), является псевдосферой.
• Эволюта (огибающая нормалей): $y(x)=a ~ \operatorname{ch}\frac{x}{a}$ (цепная линия)
• При $a > 0,\ 0 < t < {\pi}$ трактриса имеет отрезок касательной постоянной длины, равный $a$.

История

Открытие и первое исследование трактрисы (1670 год) принадлежит французскому инженеру, врачу и любителю математики Клоду Перро, брату знаменитого сказочника. Новая кривая заинтересовала математиков, её свойства выясняли Ньютон (1676), Гюйгенс (1692) и Лейбниц (1693).

Ссылки

• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике (12-е изд.). М.: Наука, 1977. С.822.