Симметричный граф

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Граф Петерсена является (кубическим) симметричным графом. Любую пару смежных вершин можно перевести в другую пару автоморфизмом, поскольку любое кольцо из пяти вершин можно перевести в любое такое же.

Симметричный граф (или транзитвный относительно дуг граф) — граф G, для любых двух пар смежных вершин которого u1v1 и u2v2 имеется автоморфизм:

f : V(G) → V(G)

такой, что:

f(u1) = u2 and f(v1) = v2.[1]

Другими словами, граф симметричен, если его группа автоморфизмов действует транзитивно на упорядоченных парах смежных вершин (таким образом, на всех рёбрах как если бы они имели ориентацию).[2] Такие графы иногда называют также 1-транзитивными относительно дуг[2] или флаг-транзитивными.[3]

По определению симметричные графы без изолированных вершин должны быть также вершинно-транзитивными.[1] Поскольку по определению выше рёбра можно перевести из одного в другое, симметричные графы должны быть также рёберно-транзитивными. Однако, рёберно-транзитивный граф не обязательно симметричен, поскольку ab может быть переведён в cd, но не в dc. Полусимметричные графы[en], например, являются рёберно-транзитивными и регулярными, но не вершинно-транзитивными.

Любой связный симметричный граф должен быть как вершинно-транзитивен, так и рёберно-транзитивен, и обратное верно для графов нечётной степени.[3] Однако для чётных степеней существуют связные одновременно вершинно-транзитивные и рёберно-транзитивные графы, но не симметричные.[4] Такие графы называются полутранзитивными[en].[5] Наименьший связный полутранзитивный граф — это граф Холта, имеющий степень 4 и 27 вершин.[1][6] Запутывает то, что некоторые авторы используют термин «симметричный граф» для графов, которые одновременно являются вершинно-транзитивными и рёберно-транзитивными. Такое определение включает полутранзитивные графы, которые исключены определением выше.

Дистанционно-транзитивный граф — это граф, в котором вместо единичного расстояния смежные вершины находятся на одном и том же фиксированном расстоянии. Такие графы по определению симметричны.[1]

t-дуга определяется как последовательность t+1 вершин, таких что любые две последовательные вершины смежны, и повторение вершин может произойти не раньше чем через 2 шага. Граф называется t-транзитивным, если группа автоморфизмов действует транзитивно на t-дуги, но не на (t+1)-дуги. Поскольку 1-дуги — это просто рёбра, любой симметричный граф степени 3 и более должен быть t-транзитивным для некоторого t, и значение t можно использовать для классификации графов. Куб является 2-транзитивным, например.[1]

Примеры[править | править исходный текст]

Сочетание условий симметрии с условием, что граф кубический (то есть все вершины имеют степень 3), порождает достаточно сильное условие, чтобы все такие графы были достаточно редки и их можно было бы перечислить. Список Фостера и его расширения дают такие списки.[7] Список Фостера был начат в 1930-х годах Р.М. Фостером[en] во время его работы в Bell Labs,[8] и в 1988 (когда Фостеру было 92[1]) список Фостера (список всех симметричных кубических графов вплоть до 512 вершин, известных на тот момент) был опубликован в виде книги.[9] Первые тринадцать элементов списка — кубические симметричные графы, имеющие до 30 вершин[10][11] (десять из них — дистанционно-транзитивные), приведены ниже в таблице

Вершины Диаметр Обхват Граф Примечания
4 1 3 полный граф K4 дистанционно транзитивен, 2-транзитивен
6 2 4 полный двудольный граф K3,3 дистанционно транзитивен, 3-транзитивен
8 3 4 вершины и рёбра куба дистанционно транзитивен, 2-транзитивен
10 2 5 граф Петерсена дистанционно транзитивен, 3-транзитивен
14 3 6 граф Хивуда дистанционно транзитивен, 4-транзитивен
16 4 6 граф Мёбиуса-Кантора 2-транзитивен
18 4 6 граф Паппа дистанционно транзитивен, 3-транзитивен
20 5 5 вершины и рёбра додекаэдра дистанционно транзитивен, 2-транзитивен
20 5 6 граф Дезарга дистанционно транзитивен, 3-транзитивен
24 4 6 граф Науру[en] (обобщённый граф Петерсена G(12,5)) 2-транзитивен
26 5 6 граф F26A[en][11] 1-транзитивен
28 4 7 граф Коксетера[en] дистанционно транзитивен, 3-транзитивен
30 4 8 Граф Татта — Коксетера дистанционно транзитивен, 5-транзитивен

Другие хорошо известные симметричные кубические графы — это граф Дика[en], граф Фостера[en] и граф Бигса–Смита[en]. Десять дистанционно-транзитивных графов перечислены выше. Вместе с графом Фостера[en] и графом Бигса–Смита[en] это единственные дистанционно-транзитивные графы.

Некубические симметричные графы включают циклы (степени 2), полные графы (степени 4 и выше с 5 и более вершинами), графы гиперкубов (степени 4 и выше с 16 и более вершинами) и графы, образованные вершинами и рёбрами октаэдра, икосаэдра, кубооктаэдра и икосододекаэдра. Граф Радо даёт пример симметричного графа с бесконечным числом вершин и бесконечной степенью.

Свойства[править | править исходный текст]

Вершинная связность симметричного графа всегда равна степени d.[3] Для контраста, для общих вершинно-транзитивных графов вершинная связность ограничена снизу числом 2(d+1)/3.[2]

t-транзитивный граф степени 3 и выше имеет обхват по меньшей мере 2(t-1). Однако не существует конечных t-транзитивных графов степени 3 и выше для t ≥ 8. В случае степени, в точности равной трём (кубические симметричные графы), нет графов для t ≥ 6.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. 1 2 3 4 5 6 Biggs, Norman Algebraic Graph Theory. — 2nd. — Cambridge: Cambridge University Press, 1993. — С. 118–140. — ISBN 0-521-45897-8
  2. 1 2 3 Chris Godsil, Gordon Royle Algebraic Graph Theory. — New York: Springer, 2001. — С. 59. — ISBN 0-387-95220-9
  3. 1 2 3 L Babai Handbook of Combinatorics / R Graham, M Groetschel, L Lovasz. — Elsevier, 1996.
  4. Bouwer, Z. «Vertex and Edge Transitive, But Not 1-Transitive Graphs.» Canad. Math. Bull. 13, 231—237, 1970.
  5. Gross, J.L. and Yellen, J. Handbook of Graph Theory. — CRC Press, 2004. — С. 491. — ISBN 1-58488-090-2
  6. Derek F. Holt A graph which is edge transitive but not arc transitive // Journal of Graph Theory. — 1981. — В. 2. — Т. 5. — С. 201–204. — DOI:10.1002/jgt.3190050210.
  7. Марстон Кондер[en], Trivalent symmetric graphs on up to 768 vertices, J. Combin. Math. Combin. Comput, vol. 20, pp. 41-63
  8. Foster, R. M. «Geometrical Circuits of Electrical Networks.» Transactions of the American Institute of Electrical Engineers 51, 309—317, 1932.
  9. «The Foster Census: R.M. Foster’s Census of Connected Symmetric Trivalent Graphs», by Ronald M. Foster, I.Z. Bouwer, W.W. Chernoff, B. Monson and Z. Star (1988) ISBN 0-919611-19-2
  10. Biggs, p. 148
  11. 1 2 Weisstein, Eric W., «Cubic Symmetric Graph», from Wolfram MathWorld.

Ссылки[править | править исходный текст]