Додекаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Додекаэдр
Dodecahedron
Тип Правильный многогранник
Грань Правильный пятиугольник
Граней 12
Рёбер 30
Вершин 20
Граней при вершине 3
Длина ребра a\,\!
Площадь поверхности 3a^2\sqrt{5(5+2\sqrt{5})}
Объём \frac{a^3}{4}(15+7\sqrt{5})
Радиус описанной сферы \frac{a}{4}(1+\sqrt{5})\sqrt{3}
Радиус вписанной сферы \frac{a}{4}\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}}
Группа симметрии Икосаэдрическая (Ih)
Двойственный многогранник икосаэдр

Додека́эдр (от греч. δώδεκα — двенадцать и греч. εδρον — грань) — двенадцатигранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников[1]. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.

Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра). Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°.

Додекаэдр имеет три звёздчатые формы.

Развёртка додекаэдра

Основные формулы[править | править исходный текст]

Если за длину ребра принять a, то площадь поверхности додекаэдра:

S=3a^2\sqrt{5(5+2\sqrt{5})}\approx 20,65a^2

Объём додекаэдра:

V=\frac{a^3}{4}(15+7\sqrt{5})\approx 7.66a^3

Радиус описанной сферы:

R=\frac{a}{4}(1+\sqrt{5})\sqrt{3}\approx 1.4a

Радиус вписанной сферы:

r=\frac{a}{4}\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}}\approx 1.11a

Свойства[править | править исходный текст]

  • В додекаэдр можно вписать куб так, что стороны куба будут диагоналями додекаэдра.

В додекаэдр можно вписать пять кубов. Если заменить пятиугольные грани додекаэдра плоскими пятиугольными звездами так, что исчезнут все ребра додекаэдра, то получим пространство пяти пересекающихся кубов. Додекаэдр как таковой исчезнет. Вместо замкнутого многогранника появится открытая геометрическая система пяти ортогональностей. Или симметричное пересечение пяти трехмерных пространств.

Элементы симметрии додекаэдра[править | править исходный текст]

  • Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии.

Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер.

  • Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

Тела в форме додекаэдра[править | править исходный текст]

  • Додекаэдр применяется как генератор случайных чисел (вместе с другими костями) в настольных ролевых играх, и обозначается при этом d12 (dice — кости).
  • В игре Пентакор мир представлен в виде этой геометрической фигуры.

Интересные факты[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]