Додекаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Додекаэдр
Додекаэдр
(Вращающаяся модель)
Тип Правильный многогранник
Грань Правильный пятиугольник
Граней 12
Рёбер 30
Вершин 20
Граней при вершине 3
Группа симметрии Икосаэдрическая (Ih)
Двойственный многогранник икосаэдр

Додека́эдр (от греч. δώδεκα — двенадцать и греч. εδρον — грань) — один из пяти возможных правильных многогранников. Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников[1], являющихся его гранями. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра).

Развёртка додекаэдра
Додекаэдр и его описанная сфера

История[править | править вики-текст]

Пожалуй, самый древний предмет в форме додекаэдра был найден в северной Италии, около Падуи, в конце XIX века, он датируется 500 г. до н.э. и предположительно использовался этрусками в качестве игральной кости[2][3].

Додекаэдр рассматривали в своих сочинениях древнегреческие учёные. Платон сопоставлял с правильными многогранниками различные классические стихии. О додекаэдре Платон писал, что «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца»[4]. Евклид в предложении 17 книги XIII «Начал» строит додекаэдр на рёбрах куба[5][6]:132-136. Папп Александрийский в «Математическом собрании» занимается построением додекаэдра, вписанного в данную сферу, попутно доказывая, что вершины додекаэдра лежат в параллельных плоскостях[7][6]:318-319[8].

На территории нескольких европейских стран найдено множество предметов, называемых римскими додекаэдрами, относящихся ко II—III вв. н.э., назначение которых не совсем понятно.

Основные формулы[править | править вики-текст]

Если за длину ребра принять a, то площадь поверхности додекаэдра:

S=3a^2\sqrt{5(5+2\sqrt{5})}\approx 20,65a^2

Объём додекаэдра:

V=\frac{a^3}{4}(15+7\sqrt{5})\approx 7,66a^3

Радиус описанной сферы[9]:

R=\frac{a}{4}(1+\sqrt{5})\sqrt{3}\approx 1,4a

Радиус вписанной сферы[9]:

r=\frac{a}{4}\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}}\approx 1,11a

Свойства[править | править вики-текст]

  • Все двадцать вершин додекаэдра лежат по пять в четырёх параллельных плоскостях, образуя в каждой из них правильный пятиугольник.
  • Двугранный угол между любыми двумя смежными гранями додекаэдра равен arccos(-1/√5)≈116°,565[9].
  • Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°, телесный (трёхгранный) угол равен arccos(-11/5√5)≈2,9617 стерадиан.
  • В додекаэдр можно вписать куб так, что стороны куба будут диагоналями додекаэдра.
  • Додекаэдр имеет три звёздчатые формы.
  • В додекаэдр можно вписать пять кубов. Если заменить пятиугольные грани додекаэдра плоскими пятиугольными звездами так, что исчезнут все ребра додекаэдра, то получим пространство пяти пересекающихся кубов. Додекаэдр как таковой исчезнет. Вместо замкнутого многогранника появится открытая геометрическая система пяти ортогональностей. Или симметричное пересечение пяти трехмерных пространств.

Элементы симметрии додекаэдра[править | править вики-текст]

  • Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии. Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер.
  • Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

Интересные факты[править | править вики-текст]

В культуре[править | править вики-текст]

  • Додекаэдр применяется как генератор случайных чисел (вместе с другими костями) в настольных ролевых играх, и обозначается при этом d12 (dice — кости).
  • В игре Пентакор мир представлен в виде этой геометрической фигуры.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Селиванов Д. Ф., Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  2. Stefano De' Stefani (1885-86). «Intorno un dodecaedro quasi regolare di pietra a facce pentagonali scolpite con cifre, scoperto nelle antichissime capanne di pietra del Monte Loffa». Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti: 1437-1459. См. также изображение этого предмета в конце тома, стр. 709 файла со сканом
  3. Amelia Carolina Sparavigna An Etruscan Dodecahedron. — arΧiv:1205.0706
  4. Платон. «Тимей»
  5. Euclid's Elements. Book XIII. Proposition 17.
  6. 1 2 Начала Евклида. Книги XI—XV. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — Помимо перевода на русский язык сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.
  7. Оригинальный текст на древнегреческом языке с параллельным переводом на латинский язык: Liber III. Propos. 58 // Pappi Alexandrini Collectionis. — 1876. — Vol. I. — P. 156-163.
  8. Roger Herz-Fischler A Mathematical History of the Golden Number. — Courier Dover Publications, 2013. — P. 117-118.
  9. 1 2 3 Доказательство приведено в: Cobb, John W. The Dodecahedron (англ.) (2005-2007). Проверено 1 июня 2014.
  10. В таблице XVII четвёртого тома его монографии о радиоляриях она обозначена номером 2
  11. The optimal phase of the generalised Poincare dodecahedral space hypothesis implied by the spatial cross-correlation function of the WMAP sky maps (англ.).
  12. Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background (англ.).
  13. Jeffrey Weeks. The Poincare Dodecahedral Space and the Mystery of the Missing Fluctuations (англ.). Архивировано из первоисточника 4 ноября 2012.

Ссылки[править | править вики-текст]