Суммирующая функция делителей

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Суммирующая функция с удалённой асимптотической составляющей для x < 10^7 в виде распределения или гистограммы. Вертикальная составляющая не является константой слева направо

Суммирующая функция делителей в теории чисел — функция, являющаяся суммой функции делителей. Функция часто используется для исследования асимптотического поведения дзета-функции Римана. Различные исследования асимптотического поведения функции делителей иногда называют проблемами делителей.

Определение[править | править вики-текст]

Суммирующая функция делителей определяется как:

D(x)=\sum_{n\le x} d(n) = \sum_{j,k \atop jk\le x} 1

где

d(n)=\sigma_0(n) = \sum_{j,k \atop jk=n} 1

функция делителей. Функция делителей считает число путей, какими целое число n может быть записано в виде произведения двух целых чисел. В более общем виде её можно определить как

D_k(x)=\sum_{n\le x} d_k(n)=\sum_{mn\le x} d_{k-1}(n)

где dk(n) определяет число путей представления числа n в виде произведения k чисел. Это число может быть представлено визуально как число узлов решетки, ограниченных гиперболической поверхностью в k измерениях. Тогда, при k=2, D(x)=D2(x) представляет число точек квадратной решетки, ограниченных осями координат и гиперболой jk = x. Эта фигура грубо может быть представлена как гиперболический симплекс, что позволяет нам получить альтернативный путь для выражения D(x) и более простой путь вычисления за время O(\sqrt{x}):

D(x)=\sum_{k=1}^x \lfloor\frac{x}{k}\rfloor = 2 \sum_{k=1}^u \lfloor\frac{x}{k}\rfloor - u^2, где u = \lfloor \sqrt{x}\rfloor

Если в этом контексте гиперболу заменить окружностью, получим задачу вычисления похожей функции, которая известна как проблема круга Гаусса.

Проблема делителей Дирихле[править | править вики-текст]

Нахождение законченного выражения для этой суммы выглядит невозможным, но можно дать аппроксимацию, которую несложно найти. Дирихле показал, что

D(x) = x\log x + x(2\gamma-1) + \Delta(x)\

где \gamma — постоянная Эйлера — Маскерони, а неасимптотическая составляющая равна

\Delta(x) = \mathcal{O}\left(\sqrt{x}\right).

Точная формулировка проблемы делителей Дирихле состоит в нахождении нижней грани всех значений \theta, для которых

\Delta(x) = \mathcal{O}\left(x^{\theta+\epsilon}\right)

выполняется для любого \epsilon >0. К 2006 году проблема оставалась нерешённой.

Секция F1 нерешённых проблем в теории чисел [1] даёт обзор, что известно и что остается неизвестным о проблеме делителей Дирихле и проблеме круга Гаусса.

  • В 1904 году Вороной доказал, что оценка отклонения может быть улучшена до \mathcal{O}(x^{1/3}\log x).[2]
  • В 1916 году Харди показал, что \inf \theta \ge 1/4. В частности, он продемонстрировал, что для некоторой постоянной K, существуют такие x, что \Delta(x) > Kx^{1/4} и такие x, что \Delta(x) < -Kx^{1/4}.[3]
  • В 1922 году Йоханнес ван дер Корпут улучшил оценку Дирихле до \inf \theta \le 33/100.
  • В 1928 году Йоханнес ван дер Корпут доказал, что \inf \theta \le 27/82.
  • В 1950 году Чи Цун-тао (Chih Tsung-tao) и, независимо, в 1953 году Ричерт (H. E. Richert) доказали, что \inf \theta \le 15/46.
  • В 1969 году Григорий Колесник показал, что \inf \theta \le 12/37
  • В 1973 году Григорий Колесник показал, что \inf \theta \le 346/1067.
  • В 1982 году Григорий Колесник показал, что \inf \theta \le 35/108.
  • В 1988 году Г. Иванец и Модзоки (C. J. Mozzochi) доказали, что \inf \theta \leq 7/22.[4]
  • В 2003 году Мартин Хаксли улучшил оценку, показав, что \inf \theta \leq 131/416.[5]

Таким образом, истинное значение \inf \theta лежит где-то между 1/4 и 131/416 (примерно. 0.3149). Широко распространена гипотеза, что значение равно в точности 1/4. Прямые вычисления \Delta(x) приводят к этой гипотезе, поскольку \Delta(x)/x^{1/4} оказывается почти нормальным распределением с дисперсией 1 для x вплоть до 1016.

Обобщенная проблема делителей[править | править вики-текст]

В обобщённом случае

D_k(x) = xP_k(\log x)+\Delta_k(x) \,

где P_k — многочлен степени k-1.

Используя простые оценки можно показать, что

\Delta_k(x)=\mathcal{O}\left( x^{1-1/k} \log^{k-2} x\right)

для целых k\ge 2. Как и в случае k=2, нижняя граница неизвестна. Если обозначить через \theta_k минимальное значение, для которого выполняется

\Delta_k(x)=\mathcal{O}\left( x^{\theta_k+\varepsilon}\right)

для любого \varepsilon>0, то известны следующие результаты:

  • Вороной и Ландау: \theta_k \le \frac{k-1}{k+1} для k=2,3,\ldots
  • Харди и Литтлвуд: \theta_k \le \frac{k-1}{k+2} для k=4,5,\ldots
  • Харди показал, что \theta_k \ge \frac{k-1}{2k} для k=2,3,\ldots
  • Титчмарш предположил, что \theta_k =\frac{k-1}{2k}

Преобразование Меллина[править | править вики-текст]

Оба члена можно выразить через преобразование Меллина:

D(x)=\frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} 
\zeta^2(w) \frac {x^w}{w}\, dw

для c>1. Здесь, \zeta(s) — дзета-функции Римана.

Подобным же образом

\Delta(x)=\frac{1}{2\pi i} \int_{c^\prime-i\infty}^{c^\prime+i\infty} 
\zeta^2(w) \frac {x^w}{w} \,dw

с 0<c^\prime<1. Асимптотический член D(x) получается сдвигом контура за двойную особую точку w=1: асимптотический член — это просто вычет (по интегральной формуле Коши).

В общем случае

D_k(x)=\frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} 
\zeta^k(w) \frac {x^w}{w} \,dw

и то же самое для \Delta_k(x), for k\ge 2.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Guy Richard K. Unsolved Problems in Number Theory. — 3rd. — Berlin: Springer, 2004. — ISBN 978-0-387-20860-2
  2. Ivic Aleksandar The Riemann Zeta-Function. — New York: Dover Publications, 2003. — ISBN 0-486-42813-3
  3. Montgomery Hugh Multiplicative Number Theory I: Classical Theory. — Cambridge: Cambridge University Press, 2007. — ISBN 978-0-521-84903-6
  4. Iwaniec, H.; C. J. Mozzochi (1988). «On the divisor and circle problems». Journal of Number Theory 29: 60–93. DOI:10.1016/0022-314X(88)90093-5.
  5. Huxley, M. N. (2003). «Exponential sums and lattice points III». Proc. London Math. Soc. 87 (3): 591–609. DOI:10.1112/S0024611503014485.

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Гарольд Эдвардс, Riemann’s Zeta Function, (1974) Dover Publications, ISBN 0-486-41740-9
  • E. C. Titchmarsh, The theory of the Riemann Zeta-Function, (1951) Oxford at the Clarendon Press, Oxford. (See chapter 12 for a discussion of the generalized divisor problem)
  • Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001, (Дает введение в проблему Дирихле о делителях)
  • H. E. Rose. A Course in Number Theory., Oxford, 1988.
  • Мартин Хаксли (2003) 'Exponential Sums and Lattice Points III', Proc. London Math. Soc. (3)87: 591—609