Интегральная формула Коши

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Содержание

1 Формулировка
2 Доказательство
3 Следствия
4 Ссылки
5 Литература

[править] Формулировка

Пусть $D$ — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей $\Gamma=\partial D$ , функция $f (z)$ — голоморфна в окрестности $\overline{D}$ и $z 0$ — точка внутри области $D$ . Тогда справедлива следующая формула Коши:

$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_\Gamma\,\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz$

(Формула справедлива также, если предполагать, что $f (z)$ голоморфна внутри $D$ , и непрерывна на замыкании, а также если граница $D$ не кусочно-гладкая, а всего лишь спрямляемая.)

[править] Доказательство

Рассмотрим окружность $S ρ$ достаточно малого радиуса $ρ$ с центром в точке $z 0$ . В области, ограниченной контурами $Γ$ и $S ρ$ подынтегральная функция не имеет особенностей и по интегральной теореме Коши интеграл от неё по границе этой области равен нулю. Это означает, что не зависимо от $ρ$ имеем равенство:

$\int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = \int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz$

Для расчёта интегралов по $S ρ$ применим параметризацию $z=z_0+\rho e^{i\varphi},\varphi\in[0;2\pi]$ .
Сначала докажем формулу Коши отдельно для случая $f (z) = 1$ :

$\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho}\frac{1}{z-z_0}\,dz = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_0^{2\pi} \frac{1}{\rho e^{i\varphi}} i\rho e^{i\varphi}\,d\varphi = 1$

Воспользуемся ею для доказательства общего случая:

$\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz-f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz-\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z_0)}{z-z_0}\,dz = \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\,dz$

Так как функция $f (z)$ комплексно дифференцируема в точке $z 0$ , то:

${f(z) - f(z_0)\over z - z_0} = f'(z_0) + o(1)$

Интеграл от $f\,'(z_0)$ равен нулю:

$\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho}f'(z_0)\,dz = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_0^{2\pi} f'(z_0) i\rho e^{i\varphi}\,d\varphi = 0$

Интеграл от члена $o (1)$ может быть сделан сколь угодно мал при $\rho\rightarrow 0$ . Но поскольку он от $ρ$ вообще не зависит, значит он равен нулю. В итоге получаем, что

$\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz - f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\,dz = 0$

[править] Следствия

Формула Коши имеет массу различных следствий. Это — ключевая теорема всего комплексного анализа. Вот некоторые из её следствий:

[править] Аналитичность голоморфных функций

В окрестности любой точки $z 0$ из области, где функция $f (z)$ голоморфна, она совпадает с суммой степенного ряда:

$f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n$ ,

причём его радиус сходимости не меньше радиуса круга с центром в точке $z 0$ , в котором функция $f (z)$ голоморфна, а коэффициенты $c n$ могут быть вычислены по интегральным формулам:

$c_n = {1 \over 2\pi i}\int\limits_{\Gamma}{f(z) \over (z - z_0)^{n+1}}\,dz$ .

Из этих формул следуют неравенства Коши для коэффициентов $c n$ функций, голоморфных в круге $| z - z 0 | < R$ :

$c_n\le r^{-n}M(r)$ ,

где $M (r)$ — максимум модуля функции $f (z)$ на окружности $| z - z 0 | = r$ , а из них — теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если функция голоморфна во всей комплексной плоскости и ограничена, она есть константа.

Кроме того, сочетая формулы для коэффициентов с теоремой о голоморфности суммы степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости и формулой, выражающей коэффициенты степенного ряда через производные его суммы

$c_n = {1\over n!}f^{(n)}(z_0)$

получается интегральное представление производных функции $f (z)$ :

$f^{(n)}(z)={n!\over 2\pi i}\int\limits_{\Gamma}{f(z)\over (z-z_0)^{n+1}}\,dz.$

Оценки производных, аналогичные неравенствам Коши, дают теорему о равностепенной непрерывности семейства голоморфных функций в ограниченной области $D$ , если это семейство равномерно ограничено в $D$ . В сочетании с теоремой Арцела—Асколи, получается теорема Монтеля о компактном семействе функций: из любого равномерно ограниченного семейства функций, голоморфных в ограниченной области $D$ , можно выделить такую последовательность функций, которая будет сходиться в $D$ к некоторой голоморфной функции равномерно.

[править] Представимость голоморфных функций рядами Лорана в кольцевых областях

Если функция $f (z)$ голоморфна в области $D$ вида ${r < | z - z 0 | < R}$ , то в ней она представима суммой ряда Лорана:

$f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n$ ,

причём коэффициенты $c n$ могут быть вычислены по интегральным формулам:

$c_n = {1 \over 2\pi i}\int\limits_{\Gamma}{f(z) \over (z - z_0)^{n+1}}\,dz$ ,

а сам ряд Лорана сходится в $D$ к функции $f (z)$ равномерно на каждом компакте из $D$ .

Формула для коэффициента $c - 1$ часто применяется для вычисления интегралов от функции $f (z)$ по различным контурам, используя алгебраические методы и теорию вычетов.

Также в терминах рядов Лорана производится классификация изолированных особых точек голоморфных функций.

[править] Теоремы о среднем для голоморфных функций

Если функция $f (z)$ голоморфна в круге ${ | z - z 0 | < R}$ , тогда для каждого $r\,(0<r<R)$

$f(z_0) = {1 \over 2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(z_0+re^{i\varphi})\,d\varphi$

а также если $B r$ — круг радиуса $r$ с центром в $z 0$ , тогда

$f(z_0) = {1 \over \pi r^2}\int\limits_{B_r}f(z)\,dx\,dy$

Из теорем о среднем следует принцип максимума модуля для голоморфных функций: если функция $f (z)$ голоморфна в области $D$ и внутри $D$ её модуль имеет локальный максимум, тогда эта функция есть константа.

Из принципа максимума модуля следует принцип максимума для вещественной и мнимой части голоморфной функции: если функция $f (z)$ голоморфна в области $D$ и внутри $D$ её вещественная или мнимая часть имеет локальный максимум или минимум, тогда эта функция есть константа.

[править] Теоремы о единственности

Из принципа максимума модуля и представимости голоморфных функций степенными рядами следуют ещё 3 важных результата:

лемма Шварца: если функция $f (z)$ голоморфна в круге $| z | < 1$ , $f (0) = 0$ и для всех точек $z$ из этого круга $|f(z)|\le 1$ , тогда всюду в этом круге $|f(z)|\le |z|$ ,
теорема единственности для степенных рядов: голоморфные функции, имеющие одинаковые ряды Тейлора в точке $z 0$ , совпадают в некоторой окрестности этой точки,
теорема о нулях голоморфной функции: если нули функции $f (z)$ , голоморфной в области $D$ имеют предельную точку внутри $D$ , тогда функция $f (z)$ равна нулю всюду в $D$ .

[править] Ссылки

Weisstein, Eric W. Интегральная формула Коши на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
Cauchy Integral Formula Module by John H. Mathews

[править] Литература

Араманович, Лунц, Эльсгольц. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устройчивости. 1968

Интегральная формула Коши

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Формулировка

[править] Доказательство

[править] Следствия

[править] Аналитичность голоморфных функций

[править] Представимость голоморфных функций рядами Лорана в кольцевых областях

[править] Теоремы о среднем для голоморфных функций

[править] Теоремы о единственности

[править] Ссылки

[править] Литература

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках