Интегральная формула Коши

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть D — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей \Gamma=\partial D, функция f(z) — голоморфна в \overline{D} и z_0 — точка внутри области D. Тогда справедлива следующая формула Коши:

f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_\Gamma\,\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz

Формула справедлива также, если предполагать, что f(z) голоморфна внутри D, и непрерывна на замыкании, а также если граница D не кусочно-гладкая, а всего лишь спрямляемая.

Доказательство[править | править вики-текст]

Рассмотрим окружность Sρ достаточно малого радиуса ρ с центром в точке z0. В области, ограниченной контурами Γ и Sρ подынтегральная функция не имеет особенностей и по интегральной теореме Коши интеграл от неё по границе этой области равен нулю. Это означает, что независимо от ρ имеем равенство:

\int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = \int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz

Для расчёта интегралов по S_\rho применим параметризацию z=z_0+\rho e^{i\varphi},\varphi\in[0;2\pi].
Сначала докажем формулу Коши отдельно для случая f(z)=1:

\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho}\frac{1}{z-z_0}\,dz = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_0^{2\pi} \frac{1}{\rho e^{i\varphi}} i\rho e^{i\varphi}\,d\varphi = 1

Воспользуемся ею для доказательства общего случая:

\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz-f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz-\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z_0)}{z-z_0}\,dz = 
\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\,dz

Так как функция f(z) комплексно дифференцируема в точке z_0, то:

{f(z) - f(z_0)\over z - z_0} = f'(z_0) + o(1)

Интеграл от f\,'(z_0) равен нулю:

\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho}f'(z_0)\,dz = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_0^{2\pi} f'(z_0) i\rho e^{i\varphi}\,d\varphi = 0

Интеграл от члена o(1) может быть сделан сколь угодно малым при \rho\rightarrow 0. Но поскольку он от \rho вообще не зависит, значит он равен нулю. В итоге получаем, что

\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz - f(z_0) = 
\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\,dz = 0

Следствия[править | править вики-текст]

Формула Коши имеет массу различных следствий. Это — ключевая теорема всего комплексного анализа. Вот некоторые из её следствий:

Аналитичность голоморфных функций[править | править вики-текст]

В окрестности любой точки z_0 из области, где функция f(z) голоморфна, она совпадает с суммой степенного ряда:

f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n,

причём его радиус сходимости не меньше радиуса круга с центром в точке z_0, в котором функция f(z) голоморфна, а коэффициенты c_n могут быть вычислены по интегральным формулам:

c_n = {1 \over 2\pi i}\int\limits_{\Gamma}{f(z) \over (z - z_0)^{n+1}}\,dz.

Из этих формул следуют неравенства Коши для коэффициентов c_n функций, голоморфных в круге {|z-z_0|<R}:

c_n\le r^{-n}M(r),

где M(r) — максимум модуля функции f(z) на окружности {|z-z_0|=r}, а из них — теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если функция голоморфна во всей комплексной плоскости и ограничена, она есть константа.

Кроме того, сочетая формулы для коэффициентов с теоремой о голоморфности суммы степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости и формулой, выражающей коэффициенты степенного ряда через производные его суммы

c_n = {{f^{(n)}(z_0)}\over n!}

получается интегральное представление производных функции f(z):

f^{(n)}(z_0)={n!\over 2\pi i}\int\limits_{\Gamma}{f(z)\over (z-z_0)^{n+1}}\,dz.

Оценки производных, аналогичные неравенствам Коши, дают теорему о равностепенной непрерывности семейства голоморфных функций в ограниченной области D, если это семейство равномерно ограничено в D. В сочетании с теоремой Арцела—Асколи, получается теорема Монтеля о компактном семействе функций: из любого равномерно ограниченного семейства функций, голоморфных в ограниченной области D, можно выделить такую последовательность функций, которая будет сходиться в D к некоторой голоморфной функции равномерно.

Представимость голоморфных функций рядами Лорана в кольцевых областях[править | править вики-текст]

Если функция f(z) голоморфна в области D вида \{r<|z-z_0|<R\}, то в ней она представима суммой ряда Лорана:

f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n,

причём коэффициенты c_n могут быть вычислены по интегральным формулам:

c_n = {1 \over 2\pi i}\int\limits_{\Gamma}{f(z) \over (z - z_0)^{n+1}}\,dz,

а сам ряд Лорана сходится в D к функции f(z) равномерно на каждом компакте из D.

Формула для коэффициента c_{-1} часто применяется для вычисления интегралов от функции f(z) по различным контурам, используя алгебраические методы и теорию вычетов.

Также в терминах рядов Лорана производится классификация изолированных особых точек голоморфных функций.

Теоремы о среднем для голоморфных функций[править | править вики-текст]

Если функция f(z) голоморфна в круге \{|z-z_0|< R\}, тогда для каждого r\,(0<r<R)

f(z_0) = {1 \over 2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(z_0+re^{i\varphi})\,d\varphi

а также если B_r — круг радиуса r с центром в z_0, тогда

f(z_0) = {1 \over \pi r^2}\int\limits_{B_r}f(z)\,dx\,dy

Из теорем о среднем следует принцип максимума модуля для голоморфных функций: если функция f(z) голоморфна в области D и внутри D её модуль имеет локальный максимум, тогда эта функция есть константа.

Из принципа максимума модуля следует принцип максимума для вещественной и мнимой части голоморфной функции: если функция f(z) голоморфна в области D и внутри D её вещественная или мнимая часть имеет локальный максимум или минимум, тогда эта функция есть константа.

Теоремы о единственности[править | править вики-текст]

Из принципа максимума модуля и представимости голоморфных функций степенными рядами следуют ещё 3 важных результата:

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
  • Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
  • Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.