Сферическая геометрия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Сферический треугольник

Сферическая геометрия — раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры на поверхности сферы. Сферическая геометрия возникла в древности в связи с потребностями географии и астрономии. Внутренняя геометрия сферы обладает постоянной положительной кривизной.

Геометрией Римана (не путать с римановой геометрией) называют тесно связанную геометрию на сфере в которой противоположные точки отождествлены (таким образом из сферы получается проективная плоскость).

Через любые две точки на поверхности сферы (кроме диаметрально противоположенных) можно провести единственный большой круг, то есть, окружность, образованную пересечением сферы и плоскости, проходящей через её центр. Большие круги на поверхности сферы являются геодезическими линиями и играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Любые два больших круга пересекаются в двух диаметрально противоположенных точках (в этом заключается отличие от римановой плоскости, где любые прямые пересекаются только в одной точке).

При пересечении двух больших кругов образуются четыре сферических двуугольника. Площадь двуугольника определяется формулой $S = 2 R 2 α$ , где $R$ — радиус сферы, а $α$ — угол двуугольника.

Три больших круга, не пересекающихся в одной точке, образуют восемь сферических треугольников. Сферический треугольник, все стороны которого меньше половины большого круга, называется эйлеровым. Помимо трёх признаков равенства плоских треугольников, для сферических треугольников действует ещё один: два сферических треугольника равны, если соответствующие их углы равны.

Стороны сферического треугольника измеряют величиной угла, образованного концами данной стороны и центром сферы. Каждая сторона меньше суммы и больше разности двух других. Сумма всех сторон всегда меньше $2π$ . Сумма углов сферического треугольника $s = α + β + γ$ всегда меньше $3π$ и больше $π$ . Величина $s-\pi = \varepsilon$ называется сферическим избытком. Площадь сферического треугольника определяется по формуле $S=R^2 \varepsilon$ .