Схематичное представление различия форм частиц. Показаны два параметра: сферичность (чем выше объект, тем больше сферичность) и круглость (чем правее объект, тем больше круглость). Сфери́чность — количественная мера того, насколько сферическим (круглым) является объект.
Определённая Х. Уоделлом (H. Wadell ) в 1935 году[1]
Ψ
{\displaystyle \Psi }
Ψ
=
π
1
3
(
6
V
p
)
2
3
A
p
,
{\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}},}
где
V
p
{\displaystyle V_{p}}
A
p
{\displaystyle A_{p}}
изопериметрического неравенства сферичность любого другого тела меньше единицы.
Хакон Уоделл определил сферичность как отношение площади поверхности сферы равного с данной частицей объёма к площади поверхности данной частицы. Рассмотрим сначала сферическую частицу, у которой площадь поверхности
A
s
{\displaystyle A_{s}}
V
p
{\displaystyle V_{p}}
Выразим площадь поверхности этой частицы
A
s
{\displaystyle A_{s}}
V
p
{\displaystyle V_{p}}
A
s
3
=
(
4
π
r
2
)
3
=
4
3
π
3
r
6
=
4
π
(
4
2
π
2
r
6
)
=
4
π
⋅
3
2
(
4
2
π
2
3
2
r
6
)
=
36
π
(
4
π
3
r
3
)
2
=
36
π
V
p
2
.
{\displaystyle A_{s}^{3}=\left(4\pi r^{2}\right)^{3}=4^{3}\pi ^{3}r^{6}=4\pi \left(4^{2}\pi ^{2}r^{6}\right)=4\pi \cdot 3^{2}\left({\frac {4^{2}\pi ^{2}}{3^{2}}}r^{6}\right)=36\pi \left({\frac {4\pi }{3}}r^{3}\right)^{2}=36\,\pi V_{p}^{2}.}
Следовательно,
A
s
=
(
36
π
V
p
2
)
1
3
=
36
1
3
π
1
3
V
p
2
3
=
6
2
3
π
1
3
V
p
2
3
=
π
1
3
(
6
V
p
)
2
3
.
{\displaystyle A_{s}=\left(36\,\pi V_{p}^{2}\right)^{\frac {1}{3}}=36^{\frac {1}{3}}\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=6^{\frac {2}{3}}\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2}{3}}.}
Тогда выражение сферичности
Ψ
{\displaystyle \Psi }
A
p
{\displaystyle A_{p}}
V
p
{\displaystyle V_{p}}
Ψ
=
A
s
A
p
=
π
1
3
(
6
V
p
)
2
3
A
p
.
{\displaystyle \Psi ={\frac {A_{s}}{A_{p}}}={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}.}
Сферичность
Ψ
{\displaystyle \Psi }
сфероида равна
Ψ
=
π
1
3
(
6
V
p
)
2
3
A
p
=
2
a
b
2
3
a
+
b
2
a
2
−
b
2
ln
(
a
+
a
2
−
b
2
b
)
,
{\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}={\frac {2{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}{a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}\ln {\left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\right)}}},}
где a и b равны большой и малой полуосям сфероида.
Название
Рисунок
Объём
Площадь поверхности
Сферичность
Платоновы тела
Тетраэдр
2
12
s
3
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{12}}\,s^{3}}
3
s
2
{\displaystyle {\sqrt {3}}\,s^{2}}
(
π
6
3
)
1
3
≈
0.671
{\displaystyle \left({\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.671}
Куб (гексаэдр)
s
3
{\displaystyle \,s^{3}}
6
s
2
{\displaystyle 6\,s^{2}}
(
π
6
)
1
3
≈
0.806
{\displaystyle \left({\frac {\pi }{6}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.806}
Октаэдр
1
3
2
s
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}\,s^{3}}
2
3
s
2
{\displaystyle 2{\sqrt {3}}\,s^{2}}
(
π
3
3
)
1
3
≈
0.846
{\displaystyle \left({\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.846}
Додекаэдр
1
4
(
15
+
7
5
)
s
3
{\displaystyle {\frac {1}{4}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}}
3
25
+
10
5
s
2
{\displaystyle 3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\,s^{2}}
(
(
15
+
7
5
)
2
π
12
(
25
+
10
5
)
3
2
)
1
3
≈
0.910
{\displaystyle \left({\frac {\left(15+7{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{12\left(25+10{\sqrt {5}}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.910}
Икосаэдр
5
12
(
3
+
5
)
s
3
{\displaystyle {\frac {5}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}}
5
3
s
2
{\displaystyle 5{\sqrt {3}}\,s^{2}}
(
(
3
+
5
)
2
π
60
3
)
1
3
≈
0.939
{\displaystyle \left({\frac {\left(3+{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{60{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.939}
Тела с осевой симметрией
Конус
(
h
=
2
2
r
)
{\displaystyle (h=2{\sqrt {2}}r)}
1
3
π
r
2
h
{\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi \,r^{2}h}
=
2
2
3
π
r
3
{\displaystyle ={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\pi \,r^{3}}
π
r
(
r
+
r
2
+
h
2
)
{\displaystyle \pi \,r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})}
=
4
π
r
2
{\displaystyle =4\pi \,r^{2}}
(
1
2
)
1
3
≈
0.794
{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.794}
Полусфера
2
3
π
r
3
{\displaystyle {\frac {2}{3}}\pi \,r^{3}}
3
π
r
2
{\displaystyle 3\pi \,r^{2}}
(
16
27
)
1
3
≈
0.840
{\displaystyle \left({\frac {16}{27}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.840}
Цилиндр
(
h
=
2
r
)
{\displaystyle (h=2\,r)}
π
r
2
h
=
2
π
r
3
{\displaystyle \pi r^{2}h=2\pi \,r^{3}}
2
π
r
(
r
+
h
)
=
6
π
r
2
{\displaystyle 2\pi r(r+h)=6\pi \,r^{2}}
(
2
3
)
1
3
≈
0.874
{\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.874}
Тор
(
R
=
r
)
{\displaystyle (R=r)}
2
π
2
R
r
2
=
2
π
2
r
3
{\displaystyle 2\pi ^{2}Rr^{2}=2\pi ^{2}\,r^{3}}
4
π
2
R
r
=
4
π
2
r
2
{\displaystyle 4\pi ^{2}Rr=4\pi ^{2}\,r^{2}}
(
9
4
π
)
1
3
≈
0.894
{\displaystyle \left({\frac {9}{4\pi }}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.894}
Сфера
4
3
π
r
3
{\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}
4
π
r
2
{\displaystyle 4\pi \,r^{2}}
1
{\displaystyle 1\,}
![{\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}={\frac {2{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}{a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}\ln {\left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb6813ea9191eb0b12f73a7297468b55ff1351b)
