Теорема Гёделя о компактности

Теорема Гёделя о компактности утверждает, что набор из предложений в логике первого порядка имеет модель, тогда и только тогда, когда каждое конечное подмножество предложений имеет модель.

Эта теорема является важным инструментом в теории моделей, так как она обеспечивает удобный метод для построения моделей для бесконечного набора предложений.

Теорема является следствием теоремы Тихонова о том, что произведение компактных пространств компактно. Кроме того, она является аналогом характеризации компактных пространств через свойство конечных пересечений.

История

Курт Гедель доказал теорему компактности для счётного числа предложений в 1930 году; несчётный случай доказан Анатолием Ивановичем Мальцевым в 1936 году.

Следствия

• Если, предложение выполнено в каждом поле характеристики нуль, то оно верно во всех полях достаточно большой характеристики.
  • Действительно, пусть φ выполнено в каждом поле характеристики нуль. Тогда его отрицание ¬φ, вместе с аксиомами поля и бесконечной последовательности предложений 1+1 ≠ 0, 1+1+1 ≠ 0, ..., приводят к противоречию (поскольку отсутствует поля характеристики 0, в котором φ не имеет места — бесконечная последовательность предложений гарантирует, что любая модель будет полем характеристики 0). Следовательно, существует конечное подмножество A из этих предложений, приводящая к противоречию. Пусть B содержит все предложения A за исключением ¬φ. Тогда любое поле с дастатоно болшой характеристики есть модель B, и ¬φ вместе с B не выполнима. Это означает, что φ выполняется в каждой моделе B, в частности φ выполнено в каждом поле достаточно большой характеристики.

• Если теория имеет произвольно большие конечные модели, или одну бесконечную модель, то она имеет модели сколь угодно большой мощности. (Это частный случай теоремы Лёвенгейма — Скулема).
  • Так, например, существуют нестандартные модели арифметики Пеано с несчётным числом натуральных чисел.
  • Доказательство. Пусть М есть модель исходной теории. Добавим к языку один символ для каждого элемента множества T большой мощности. Затем добавим набор предложений, которые говорят, что все эти символы различны. Поскольку для каждого конечного подмножествоа этой новой теории есть модель, то есть модель и для самой теории.

• Построение нестандартной модели вещественных чисел, то есть, расширения теории вещественных чисел, содержащего «бесконечно малые».
  • Пусть Σ есть аксиоматизация теории вещественных чисел первого порядка. Рассмотрим теорию, полученную путем добавления новой константы ε к языку и предложениями ε > 0 и ε < 1/n для всех натуральных чисел n. Очевидно, что стандартные вещественные числа являются моделью для любого конечного подмножества из этих аксиом. По теореме компактности существует модель удовлетворяющая всем предложениям. То есть модель с бесконечно малым числом ε.

О доказательствах

Теорема следует из теоремы Гёделя о полноте. Гедель доказал теорему компактности изначально именно так. Позже были найдены «чисто семантические» доказательства. Одно из этих доказательств опирается на ультрапределы.

Ссылки

• Boolos, George; Jeffrey, Richard; Burgess, John. Computability and Logic (неопр.). — fourth. — Cambridge University Press, 2004.
• Chang, C.C.; Keisler, H. Jerome. Model Theory (неопр.). — third. — Elsevier, 1989. — ISBN 0-7204-0692-7.
• Dawson, John W. junior. The compactness of first-order logic: From Gödel to Lindström (англ.) // History and Philosophy of Logic : journal. — 1993. — Vol. 14. — P. 15—37. — doi:10.1080/01445349308837208.
• Hodges, Wilfrid. Model theory (неопр.). — Cambridge University Press, 1993. — ISBN 0-521-30442-3.
• Marker, David. Model Theory: An Introduction (неопр.). — Springer, 2002. — ISBN 0-387-98760-6.
• Truss, John K. Foundations of Mathematical Analysis (англ.). — Oxford University Press, 1997. — ISBN 0-19-853375-6.