Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов утверждает, что

Всякое натуральное число можно представить в виде суммы четырех квадратов целых чисел.

Доказательство теоремы предоставляет собой алгоритм, позволяющий находить такое представление для числа N с помощью O(N^2log_{2}{N}) арифметических операций[1].

Теорема является решением проблемы Варинга для степени n=2. Поскольку числа вида 4^m(8n+7),\;m,\;n=0,\;1,\;2,\;\ldots не представимы суммой трёх квадратов[2], то теорема Лагранжа даёт одно из двух известных значений функции Харди G(2)=4.

Примеры[править | править вики-текст]

\begin{align}
    3 &= 1^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2\\ 
   31 &= 5^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2\\
  310 &= 17^2 + 4^2 + 2^2 + 1^2.
\end{align}

Число 31 не представимо суммой трёх квадратов.

История[править | править вики-текст]

Утверждение теоремы впервые появилось в Арифметике Диофанта, переведённой на латынь Баше в 1621 году. Важную для теоремы лемму о том, что произведение сумм четырёх квадратов есть сумма четырёх квадратов доказал Эйлер, который был близок к доказательству самой теоремы[2] и много сделал лично для Лагранжа. Однако Лагранж опередил Эйлера и доказал теорему в 1770 году.

Примечания[править | править вики-текст]