Теорема Лежандра о трёх квадратах
Теорема Лежандра о трёх квадратах утверждает, что натуральное число может быть представлено суммой трёх квадратов целых чисел
тогда и только тогда, когда n не представимо в виде , где a и b целые.
В частности, числами, не представимыми суммой трёх квадратов и представимыми в виде , являются
История[править | править код]
Пьер Ферма дал критерий представимости чисел вида суммой трёх квадратов, но не привёл доказательства. Николас де Бегелин заметил в 1774 году[1], что всякое натуральное число, не представимое в форме и в форме , есть сумма не более трёх квадратов, но не представил удовлетворительного доказательства.[2] В 1796 году Гаусс доказал, что любое натуральное число есть сумма не более трёх треугольных чисел. Из этого следует, что сумма не более трёх квадратов. В 1797 или 1798 году Лежандр получил первое доказательство теоремы о трёх квадратах.[3] В 1813 году Коши заметил[4], что теорема Лежандра эквивалентна вышеприведенной формулировке. Ранее, в 1801 году, Гаусс получил более общий результат,[5] следствием которого была теорема Лежандра. В частности, Гаусс сосчитал число решений для целочисленного уравнения трёх квадратов и одновременно дал обобщение ещё одного результата Лежандра,[6] доказательство которого было неполным. Это, вероятно, послужило причиной ошибочных заявлений, что доказательство Лежандра было неполным и завершено Гауссом.[7]
Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов и теорема о трёх квадратах дают полное решение проблемы Варинга для k = 2.
Доказательства[править | править код]
Доказательство того, что числа не представимы суммой трёх квадратов несложное и вытекает из того, что любой квадрат по модулю 8 конгруэнтен 0, 1 или 4.
Существует несколько доказательств того, что остальные числа представимы суммой трёх квадратами, помимо доказательства Лежандра. Доказательство Дирихле 1850 года стало классическим.[8] В его основе лежат три леммы:
- Квадратичный закон взаимности,
- Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии,
- Класс эквивалентности тривиальной трёхчленной квадратичной формы.
Связь с теоремой о четырёх квадратах[править | править код]
Гаусс отметил,[9] что теорема о трёх квадратах позволяет легко доказать теорему о четырёх квадратах. Однако доказательство теоремы о трёх квадратах намного сложнее прямого доказательства теоремы о четырёх квадратах, которая была доказана первой в 1770 году.
См. также[править | править код]
Примечания[править | править код]
- ↑ Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin (1774, publ. 1776), pp. 313–369.
- ↑ Диксон, Леонард Юджин, History of the theory of numbers, vol. II, p. 15 (Carnegie Institute of Washington 1919; AMS Chelsea Publ., 1992, reprint).
- ↑ A.-M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres, Paris, An VI (1797–1798), P. and pp. 398–399.
- ↑ A. L. Cauchy, Mém. Sci. Math. Phys. de l'Institut de France, (1) 14 (1813–1815), 177.
- ↑ C. F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, Art. 291 et 292.
- ↑ A.-M. Legendre, Hist. et Mém. Acad. Roy. Sci. Paris, 1785, pp. 514–515.
- ↑ Смотри , например: Elena Deza and M. Deza. Figurate numbers. World Scientific 2011, p. 314 Архивная копия от 4 августа 2018 на Wayback Machine
- ↑ vol. I, parts I, II and III of : Ландау, Vorlesungen über Zahlentheorie, New York, Chelsea, 1927. Second edition translated into English by Jacob E. Goodman, Providence RH, Chelsea, 1958.
- ↑ Gauss, Carl Friedrich (1965), Disquisitiones Arithmeticae, Yale University Press, p. 342, section 293, ISBN 0-300-09473-6