Кватернион

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Черновик [показать страницу] (сравнить)

Данная версия статьи не досматривалась участниками с соответствующими правами. Вы можете прочитать последнюю досмотренную версию от 1 апреля 2009, однако она может значительно отличаться от текущей версии. Проверки требуют 9 правок.

Перейти к: навигация, поиск

Кватернио́ны (англ. quaternion) — это система гиперкомплексных чисел, предложенная У. Р. Гамильтоном в 1843 году.

Умножение кватернионов некоммутативно; они образуют тело, которое обычно обозначается $\mathbb H$ .

Кватернионы очень удобны для описания изометрий трёхмерного и четырёхмерного Евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике, например при создании трёхмерной графики.^[1]

Содержание

1 Определения
2 Связанные определения
3 Алгебраические свойства
4 Кватернионы и повороты пространства
5 Целые кватернионы
- 5.1 Целые единичные кватернионы
- 5.2 Разложение на простые сомножители
6 Функции кватернионного переменного
7 Виды умножений
8 Из истории
9 Новые результаты и направления исследований
- 9.1 Кватернионы и метрика Минковского
10 См. также
11 Источники
12 Литература

[править] Определения

[править] Вектор-скаляр

Кватернион представляет собой пару $\left(a, \vec{u} \right),$ где $\vec{u}$ — вектор трёхмерного пространства, а $a\,$ — скаляр, то есть вещественное число. Операции сложения определены следующим образом:

$\left(a, \vec{u} \right)+ \left(b , \vec{v}\right)= \left(a + b , \vec{u} + \vec{v}\right)$

Произведение должно быть дистрибутивно и

$\left(a, 0\right)\left(0, \vec{v}\right)=\left(0, \vec{v}\right)\left(a, 0 \right)= \left(0, a\vec{v}\right)$

$\left(a, 0\right)\left(b, 0\right)=\left(ab, 0\right)\,$

$\left(0, \vec{u} \right)\left(0, \vec{v}\right)= \left( - \vec{u}\cdot\vec{v} , \vec{u}\times\vec{v}\right)$

где $\cdot$ обозначает скалярное произведение, а $\times$ — векторное произведение. Антикоммутативность векторного произведения в последнем определении влечёт некоммутативность произведения кватернионов.

[править] Матричные определения

[править] Через комплексные матрицы

Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

$\begin{pmatrix} \;\;\alpha & \beta \\ -\bar \beta & \bar \alpha \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \;\;a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix},$

здесь $\bar \alpha$ и $\bar \beta$ обозначают комплексно-сопряжённые числа к $\,\alpha$ и $\, \beta$ .

Такое представление имеет несколько замечательных свойств:

комплексному числу соответствует диагональная матрица;
сопряжённому кватерниону соответствует сопряжённая транспонированная матрица:

$\bar q \mapsto \bar Q ^ T$ ;
квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы:

$\left|q \right| ^ 2 = \det Q$ .

[править] Через вещественные матрицы

Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

$\begin{pmatrix} a & -b & -c & -d \\ b & \;\;a & -d & \;\; c \\ c & \;\;d & \;\; a & -b \\ d & -c & \;\; b & \;\; a \end{pmatrix}.$

При такой записи:

сопряжённому кватерниону соответствует транспонированная матрица:

$\bar q \mapsto Q ^ T$ ;
четвёртая степень модуля кватерниона равна определителю соответствующей матрицы:

$\left|q \right| ^ 4 = \det Q$ .

[править] Стандартное определение

Кватернионы можно определить как формальную сумму $\,a+bi+cj+dk,$ где $\,a, b, c, d$ — вещественные числа, а $\,i, j, k$ — мнимые единицы со следующим свойством: $i 2 = j 2 = k 2 = i j k = - 1$ . Таким образом, таблица умножения базисных кватернионов — $\,1, i, j, k$ — выглядит так:

·	$1$	$i$	$j$	$k$
$1$	$\,1$	$\,i$	$\,j$	$\,k$
$i$	$\,i$	$\,-1$	$\,k$	$\,-j$
$j$	$\,j$	$\,-k$	$\,-1$	$\,i$
$k$	$\,k$	$\,j$	$\,-i$	$\,-1$

например, $\,ij=k$ , a $\,ji=-k$ .

[править] Через комплексные числа

У этой категории нет основной статьи — Процедура Кэли — Диксона. Вы поможете проекту, если напишете её.

Кватернион можно представить как пару комплексных чисел. Пусть $j ^ 2 = -1,\, j \ne \pm i$ и $z, w \in \C$ . Тогда кватернион можно записать в виде $q = z + w j = a + b i + c j + d i j$ .

[править] Связанные определения

Для кватерниона

$\,q=a+bi+cj+dk$

кватернион $\,a$ называется скалярной частью $\,q,$ а кватернион $\,u=bi+cj+dk$ — векторной частью. Если $\,u=0,$ то кватернион называется чисто скалярным, а при $\,a=0$ — чисто векторным.

[править] Сопряжение

Кватернион

$\bar q=a-bi-cj-dk$

называется сопряжённым к $\,q.$

Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядке:

$\overline {pq} = \bar q \bar p$

Для кватернионов справедливо равенство

$\overline {p} =-\frac 12 (p+ipi+jpj+kpk)$

[править] Модуль

Так же, как и для комплексных чисел,

$\left|q \right| =\sqrt{q\bar q}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$

называется модулем $\,q$ . Если $\, \left|q \right| =1,$ то $\,q$ называется единичным кватернионом.

В качестве нормы кватерниона обычно рассматривают его модуль: $\left\|z \right\| = \left |z \right |$ .

Таким образом, на множестве кватернионов можно ввести метрику. Кватернионы образуют метрическое пространство, изоморфное $\R^4$ с евклидовой метрикой.

Кватернионы с модулем в качестве нормы образуют банахову алгебру.

[править] Обращение

Кватернион, обратный по умножению к $q$ , вычисляется так:

$q^{-1} = \frac {\bar q} {\left|q \right| ^ 2}$ .

[править] Алгебраические свойства

Четыре базисных кватерниона и четыре противоположных им по знаку образуют по умножению группу кватернионов (порядка 8). Обозначается:

$Q_8 = \left\{ \pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \right\}$ .

Множество кватернионов является примером кольца с делением.

Множество кватернионов образует четырёхмерную ассоциативную алгебру с делением над полем вещественных (но не комплексных) чисел. Вообще $\mathbb R$ , $\mathbb C$ , $\mathbb H$ являются единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над полем вещественных чисел.^[2]

Некоммутативность умножения кватернионов приводит к неожиданным последствиям. Например, количество различных корней полиномиального уравнения над множеством кватернионов может быть больше, чем степень уравнения. В частности, уравнение $q 2 + 1 = 0$ имеет бесконечно много решений — это все единичные чисто векторные кватернионы.

[править] Кватернионы и повороты пространства

Кватернионы, рассматриваемые как алгебра над $\scriptstyle\Bbb R$ , образуют четырёхмерное вещественное векторное пространство. Любой поворот этого пространства относительно $\,0$ может быть записан в виде $q\mapsto \xi q \zeta$ , где $\,\xi$ и $\,\zeta$ — пара единичных кватернионов, при этом пара $\,\left(\xi,\zeta\right)$ определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары — $\,\left(\xi,\zeta\right)$ и $\,\left(-\xi,-\zeta\right)$ . Из этого следует, что группа Ли $SO\left(\R,4\right)$ поворотов $\R^4$ есть факторгруппа $S^3\times S^3/\Z_2$ , где $\,S^3$ обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.

Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное вещественно векторное пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно $\,0$ может быть записан в виде $u\mapsto \xi u \bar\xi$ , где $\,\xi$ — некоторый единичный кватернион. Соответственно, $SO\left(\R,3\right)=S^3/\Z_2$ , в частности, $SO\left(\R,3\right)$ диффеоморфно $\R \mathrm{P}^3$ .

[править] Целые кватернионы

В качестве нормы кватерниона выберем квадрат его модуля: $\left\|z \right\| = \left |z \right | ^ 2$ .

Целыми принято называть кватернионы $a + b i + c j + d k$ такие, что все $2 a,2 b,2 c,2 d$ — целые и одинаковой чётности.

Целый кватернион называется

чётным
нечётным
простым

если таким же свойством обладает его норма.

Целый кватернион называется примитивным, если он не делится ни на какое натуральное число, кроме $1$ , нацело (иными словами, $\gcd \left(2a, 2b, 2c, 2d \right) \le 2$ ).

[править] Целые единичные кватернионы

Существует 24 целых единичных кватерниона:

$\pm 1$ , $\pm i$ , $\pm j$ , $\pm k$ , $\frac { \pm 1 \pm i \pm j \pm k } {2}$ .

Они образуют группу по умножению и лежат в вершинах правильного четырёхмерного многогранника — кубооктаэдра.

[править] Разложение на простые сомножители

Для примитивных кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики.

Теорема.^[3] Для любого фиксированного порядка множителей в разложении нормы кватерниона $N (q)$ в произведение простых целых положительных чисел $N (q) = p 1 p 2 ... p n$ существует разложение кватерниона $q$ в произведение простых кватернионов $q = q 1 q 2 ... q n$ такое, что $N (q i) = p i$ . Причём данное разложение единственно по модулю домножения на единицы^[4] — это значит, что любое другое разложение будет иметь вид

$q = \left(q_1 \epsilon_1 \right) \left(\bar\epsilon_1 q_2 \epsilon_2 \right) \left(\bar\epsilon_2 q_3 \epsilon_3 \right) ... \left(\bar\epsilon_{n-1} q_n \right)$ ,

где $ε 1$ , $ε 2$ , $ε 3$ , … $ε n - 1$ — целые единичные кватернионы.

Например, примитивный кватернион нормы 60 имеет (по модулю домножения на единицы) ровно 12 разложений в произведение простых кватернионов, отвечающих 12 разложениям числа 60 в произведений простых:

$60 = 2\cdot2\cdot3\cdot5 \quad 60 = 2\cdot2\cdot5\cdot3 \quad 60 = 2\cdot3\cdot2\cdot5 \quad 60 = 2\cdot5\cdot2\cdot3 \quad 60 = 2\cdot3\cdot5\cdot2 \quad 60 = 2\cdot5\cdot3\cdot2$

$60 = 3\cdot2\cdot2\cdot5 \quad 60 = 5\cdot2\cdot2\cdot3 \quad 60 = 3\cdot2\cdot5\cdot2 \quad 60 = 5\cdot2\cdot3\cdot2 \quad 60 = 3\cdot5\cdot2\cdot2 \quad 60 = 5\cdot3\cdot2\cdot2$

Общее число разложений такого кватерниона равно $24^3 \cdot 12 = 165888$

[править] Функции кватернионного переменного

[править] Вспомогательные функции

Знак кватерниона вычисляется так:

$\operatorname {sgn}\, q = \frac {q} {\left|q \right|}$ .

Аргумент кватерниона — это угол поворота четырёхмерного вектора, который отсчитывается от вещественной единицы:

$\arg q = \arccos \frac {a} {\left|q \right|}$ .

[править] Элементарные функции

[править] Степень и логарифм

На множестве кватернионов можно определить показательную и логарифмическую функции. Это можно сделать, так как кватернионы образуют алгебру с делением.

$\exp q = \exp a \left( \cos \left|u \right| + \operatorname {sgn}\, u \sin \left|u \right| \right)$

$\ln q = \ln \left|q \right| + \operatorname {sgn}\, u \arg q$

$p^q = \exp \left(\left(\ln p\right) q\right)$

[править] Тригонометрические функции

$\sin q = \sin a \, \operatorname {ch} \left|u \right| + \cos a \, \operatorname {sgn}\, u \, \operatorname {sh} \left|u \right|$

$\cos q = \cos a \, \operatorname {ch} \left|u \right| - \sin a \, \operatorname {sgn}\, u \, \operatorname {sh} \left|u \right|$

$\operatorname {tg}\, q = \frac {\sin q} {\cos q}$

[править] Регулярные функции

Основная статья: Кватернионный анализ

Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный — рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать праводифференцируемые и леводифференцируемые функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Очевидно, что их теория полностью аналогична. Определим кватернионно леводифференцируемую функцию $f$ как имеющую предел

$\frac{df}{dq} = \lim_{h \to 0} \left[ h^{-1}\left(f\left(q+h\right) - f\left(q\right)\right) \right]$

Оказывается, что все такие функции имеют в некоторой окрестности точки $q$ вид

f = a + q b

где $a, b$ — постоянные кватернионы. Другой способ основан на использовании операторов

$\frac{\partial}{\partial \bar q} = \frac{\partial}{\partial t} + \vec i \frac{\partial}{\partial x} + \vec j \frac{\partial}{\partial y} + \vec k \frac{\partial}{\partial z}$

$\frac{\partial}{\partial q} = \frac{\partial}{\partial t} - \vec i \frac{\partial}{\partial x} - \vec j \frac{\partial}{\partial y} - \vec k \frac{\partial}{\partial z}$

и рассмотрении таких кватернионных функций $f$ , для которых^[5]

$\frac{\partial f}{\partial \bar q} = 0$

что полностью аналогично использованию операторов $\frac{\partial}{\partial \bar z}$ и $\frac{\partial}{\partial z}$ в комплексном случае. При этом получаются аналоги интегральной теоремы Коши, теории вычетов, гармонических функций и рядов Лорана для кватернионных функций^[6].

[править] Производная Гато

Основная статья: Кватернионный анализ

Производная Гато функции кватернионного переменного определена согласно формуле

$\partial f(x)(a)=\lim_{t\to 0}(t^{-1}(f(x+ta)-f(x)))$

Производная Гато является аддитивным отображением приращения аргумента и может быть представлена в виде^[7]

$\partial f(x)(dx)= \frac{{}_{(s)0}\partial f(x)}{\partial x} dx \frac{{}_{(s)1}\partial f(x)}{\partial x}$

Здесь предполагается суммирование по индексу $s$ . Число слагаемых зависит от выбора функции $f$ . Выражения $\frac{{}_{(s)0}\partial f(x)}{\partial x}$ и $\frac{{}_{(s)1}\partial f(x)}{\partial x}$ называются компонентами производной.

[править] Виды умножений

[править] Умножение Грассмана

Так по-другому называется общепринятое умножение кватернионов ( $p q$ ).

[править] Евклидово умножение

Отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берется сопряжённый к нему: $\bar p q$ . Оно также некоммутативно.

[править] Скалярное произведение

Аналогично одноимённой операции для векторов:

$p \cdot q = \frac{\bar p q + \bar q p}{2}$ .

Эту операцию можно использовать для выделения одного из коэффициентов, например, $\left(a + bi + cj + dk\right) \cdot i = b$ .

Определение модуля кватерниона можно видоизменить:

$\left|p \right| = \sqrt{p \cdot p}$ .

[править] Внешнее произведение

$\operatorname {Outer}\left(p, q\right) = \frac {\bar p q - \bar q p} {2}$ .

Используется не очень часто, тем не менее рассматривается в дополнение к скалярному произведению.

[править] Векторное произведение

Аналогично одноимённой операции для векторов. Результатом является тоже вектор:

$p \times q = \frac{pq - qp}{2}$ .

[править] Из истории

Памятная табличка на мосту Брум Бридж в Дублине: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, во вспышке гения, сэр Уильям Роуэн Гамильтон открыл формулу перемножения кватернионов»

Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной.

Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком Уильямом Гамильтоном в 1843 году, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон назвал эти числа кватернионами. Позднее Фробениус строго доказал (1877), что расширить комплексное поле до поля или тела с двумя мнимыми единицами невозможно.

Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля.^[8] Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ (Гиббс, Хевисайд).

[править] Новые результаты и направления исследований

[править] Кватернионы и метрика Минковского

Как алгебра над $\scriptstyle\Bbb R$ , кватернионы образуют вещественное векторное пространство $\scriptstyle\Bbb H$ , снабжённое тензором третьего ранга $S$ типа (1,2), иногда называемого структурным тензором. Как всякий тензор такого типа, $S$ отображает каждую 1-форму $t$ на $\scriptstyle\Bbb H$ и пару векторов $\left(a, b\right)$ из $\scriptstyle\Bbb H$ в вещественное число $S\left(t, a, b\right)$ . Для любой фиксированной 1-формы $t$ $S$ превращается в ковариантный тензор второго ранга, который, в случае его симметрии, становится скалярным произведением на $\scriptstyle\Bbb H$ . Поскольку каждое вещественное векторное пространство является также вещественным линейным многообразием, такое скалярное произведение порождает тензорное поле, которое, при условии его невырожденности, становится (псевдо- или собственно-)евклидовой метрикой на $\scriptstyle\Bbb H$ . В случае кватернионов это скалярное произведение индефинитно, его сигнатура не зависит от 1-формы $t$ , а соответствующая псевдоевклидова метрика есть метрика Минковского ^[9]. Эта метрика автоматически продолжается на группу Ли ненулевых кватернионов вдоль её левоинвариантных векторных полей, образуя так называемую закрытую ФЛРУ (Фридман — Леметр — Робертсон — Уолкер) метрику^[10] — важное решение уравнений Эйнштейна. Эти результаты проясняют некоторые аспекты проблемы совместимости квантовой механики и общей теории относительности в рамках теории квантовой гравитации^[11].

[править] См. также

Кватернионы и вращение пространства

[править] Источники

↑ Кватернионы в программировании игр (GameDev.ru)
↑ Теорема Фробениуса
↑ John C. Baez. On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, by John H. Conway and Derek A. Smith (англ.). — Review. Проверено 7 февраля 2009.
↑ англ. up to unit-migration
↑ R. Fueter Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen, — Comment. math. Helv. 8, pp.371—378, 1936.
↑ A. Sudbery Quaternionic Analysis, — Department of Mathematics, University of York, 1977.
↑ Выражение $\frac{{}_{(s)p}\partial f(x)}{\partial x}$ не является дробью и должно восприниматься как символ оператора. Данное обозначение предложенно для того, чтобы сохранить преемственность с классическим анализом.
↑ А. Н. Крылов Отзыв о работах академика П. П. Лазарева.
↑ Vladimir Trifonov A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem // Euruphysics Letters, — IOP Publishing, V. 32, № 8 / 12.1995. — С. 621—626 — DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.
↑ Vladimir Trifonov Natural Geometry of Nonzero Quaternions // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 46, № 2 / 02.2007. — С. 251—257 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).
↑ Vladimir Trifonov GR-Friendly Description of Quantum Systems // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 47, № 2 / 02.2008. — С. 492—510 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).

[править] Литература

И. Л. Кантор, А. С. Солодовников Гиперкомплексные числа. — М.: Наука, 1973. — 144 с.
Мищенко А., Соловьев Ю. Кватернионы, — Квант, N9, 1983.
Martin John Baker EuclideanSpace.com — применение кватернионов в 3D графике.

Числа

[0] Кватернионы в программировании игр (GameDev.ru)

[1] Теорема Фробениуса

[2] John C. Baez. On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, by John H. Conway and Derek A. Smith (англ.). — Review. Проверено 7 февраля 2009.

[3] англ. up to unit-migration

[4] R. Fueter Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen, — Comment. math. Helv. 8, pp.371—378, 1936.

[5] A. Sudbery Quaternionic Analysis, — Department of Mathematics, University of York, 1977.

[6] Выражение $\frac{{}_{(s)p}\partial f(x)}{\partial x}$ не является дробью и должно восприниматься как символ оператора. Данное обозначение предложенно для того, чтобы сохранить преемственность с классическим анализом.

[7] А. Н. Крылов Отзыв о работах академика П. П. Лазарева.

[8] Vladimir Trifonov A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem // Euruphysics Letters, — IOP Publishing, V. 32, № 8 / 12.1995. — С. 621—626 — DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.

[9] Vladimir Trifonov Natural Geometry of Nonzero Quaternions // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 46, № 2 / 02.2007. — С. 251—257 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).

[10] Vladimir Trifonov GR-Friendly Description of Quantum Systems // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 47, № 2 / 02.2008. — С. 492—510 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Кватернион

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Определения

[править] Вектор-скаляр

[править] Матричные определения

[править] Через комплексные матрицы

[править] Через вещественные матрицы

[править] Стандартное определение

[править] Через комплексные числа

[править] Связанные определения

[править] Сопряжение

[править] Модуль

[править] Обращение

[править] Алгебраические свойства

[править] Кватернионы и повороты пространства

[править] Целые кватернионы

[править] Целые единичные кватернионы

[править] Разложение на простые сомножители

[править] Функции кватернионного переменного

[править] Вспомогательные функции

[править] Элементарные функции

[править] Степень и логарифм

[править] Тригонометрические функции

[править] Регулярные функции

[править] Производная Гато

[править] Виды умножений

[править] Умножение Грассмана

[править] Евклидово умножение

[править] Скалярное произведение

[править] Внешнее произведение

[править] Векторное произведение

[править] Из истории

[править] Новые результаты и направления исследований

[править] Кватернионы и метрика Минковского

[править] См. также

[править] Источники

[править] Литература

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках