Теорема о распределении простых чисел

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема о распределении простых чисел — теорема аналитической теории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел. А именно, она утверждает, что функция распределения простых чисел \pi(n)~ (количество простых чисел на отрезке от 1 до n) растёт с ростом n как \frac{n}{\ln n}, то есть:

 \frac{\pi(n)}{n/\ln n} \to 1, когда \quad n\to \infty.

Грубо говоря, это означает, что у случайно выбранного числа от 1 до n шанс оказаться простым примерно равен \frac{1}{\ln n}.

Также эта теорема может быть эквивалентным образом переформулирована для описания поведения k-го простого числа p_k: она утверждает, что

 p_k \sim k\ln k, \quad k\to\infty

(здесь и далее запись \ f\sim g означает, что f/g \to 1 когда аргумент функций стремится к бесконечности).

Более точно распределение простых чисел описывает функция интегрального логарифма. При справедливости гипотезы Римана верно[1]

\pi(n)={li}\,(n)+O(\sqrt{n}\ln(n)).

История[править | править вики-текст]

Первым статистическую закономерность в расположении простых чисел подметил Гаусс. В письме Энке (1849) он сообщил, что ещё в 1792 или 1793 году, чисто эмпирически, обнаружил, что плотность простых чисел «в среднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму»[2]. К этому времени, основываясь на таблицах простых чисел, составленных Фелкелем и Вегой, Лежандр предположил (в 1796 году), что функция распределения простых чисел \pi(x)~ (число простых чисел, не превосходящих x) может быть приближена выражением:

\pi(x) \sim \frac{x}{\ln(x)-B}

где B \approx 1{,}08366. Гаусс в упомянутом письме критикует формулу Лежандра и, используя эвристические рассуждения, предлагает другую приближающую функцию — интегральный логарифм:

\mathrm{Li}(x)=\int_2^x \frac{1}{\ln x} \, dx

Однако Гаусс нигде не опубликовал эту гипотезу. Оба приближения, как Лежандра, так и Гаусса, приводят к одной и той же предполагаемой асимптотической эквивалентности функций \pi(x) и x / \ln(x), указанной выше, хотя приближение Гаусса и оказывается существенно лучше, если при оценке ошибки рассматривать разность функций вместо их отношения.

В двух своих работах, 1848 и 1850 года, Чебышёв доказывает[3], что верхний M и нижний m пределы отношения

\frac{\pi(x)}{x/\ln x} \qquad (1)

заключены в пределах 0{,}92129 \leqslant m \leqslant M \leqslant 1{,}10555, а также, что если предел отношения (1) существует, то он равен 1. Позднее (1881) Дж. Дж. Сильвестр сузил допустимый интервал для предела с 10% до 4%.

В 1859 году появляется работа Римана, рассматривающая (введённую Эйлером как функцию вещественного аргумента) \zeta-функцию в комплексной области, и связывающая её поведение с распределением простых чисел. Развивая идеи этой работы, в 1896 году Адамар и Валле-Пуссен одновременно и независимо доказывают теорему о распределении простых чисел.

Наконец, в 1949 году появляется не использующее комплексный анализ доказательство ЭрдешаСельберга.

Общий ход доказательства[править | править вики-текст]

Переформулировка в терминах пси-функции Чебышёва[править | править вики-текст]

Общим начальным этапом рассуждений является переформулировка закона распределения простых чисел в терминах пси-функции Чебышёва, определяемой как


\psi(x)=\sum_{p^k \le x} \log p,   \qquad \qquad (*)

иными словами, пси-функция Чебышёва это сумма функции Мангольдта:


\psi(x)=\sum_{n\le x} \Lambda(n), \qquad
\Lambda(n)=
\begin{cases} 
\log p, & n=p^k, \, k\ge 1, \quad p \,\text{is a prime} \\
0, & \text{otherwise}.
\end{cases}

А именно, оказывается, что асимптотический закон распределения простых чисел равносилен тому, что


\psi(x)\sim x, \quad x\to \infty.

Это происходит из-за того, что логарифм «почти постоянен» на большей части отрезка [1,n], а вклад квадратов, кубов, и т. д. в сумму (*) пренебрежимо мал; поэтому практически все складываемые логарифмы \ln p примерно равны \ln x, и функция \psi(x) асимптотически ведёт себя так же, как \pi(x) \cdot \ln x.

Классические рассуждения: переход к дзета-функции Римана[править | править вики-текст]

Как следует из тождества Эйлера,


\zeta(s)=\prod_p \frac{1}{1-p^{-s}},

ряд Дирихле («производящая функция»), соответствующий функции Мангольдта, равен минус логарифмической производной дзета-функции:


\sum_n \Lambda(n) n^{-s} = - \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}.

Кроме того, интеграл по вертикальной прямой, находящейся справа от 0, от функции a^s/s равен 2\pi i при a>1 и 0 при 0<a<1. Поэтому, умножение правой и левой части на \frac{1}{2\pi i} x^s/s и (аккуратное — несобственные интегралы сходится только условно!) и интегрирование по вертикальной прямой по ds оставляет в левой части в точности сумму \Lambda(n) с n\le x. С другой стороны, применение теоремы о вычетах позволяет записать левую часть в виде суммы вычетов; каждому нулю дзета-функции соответствует полюс первого порядка её логарифмической производной, с вычетом, равным 1, а полюсу первого порядка в точке s=1 — полюс первого порядка с вычетом, равным (-1).

Строгая реализация этой программы позволяет получить[4] явную формула Римана (англ.)[5]:


\psi(x) =x-\sum_{{\rho: \, \zeta(\rho)=0, \atop 0<Re(\rho)<1}}\frac{x^\rho}{\rho} - \log(2\pi) -\frac{1}{2}\log(1-x^{-2}). \qquad \qquad (**)

Суммирование тут ведётся по нулям \rho~ дзета-функции, лежащим в критической полосе 0<Re(s)<1~, слагаемое -\log(2\pi)=-\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)} отвечает полюсу \frac{x^s}{s}~ в нуле, а слагаемое -\log(1-x^{-2})/2~ — так называемым «тривиальным» нулям дзета-функции s=-2,-4,-6,\dots.

Отсутствие нетривиальных нулей дзета-функции вне критической полосы и влечёт за собой искомое утверждение \psi(x)\sim x\ ~ (сумма в формуле (**) будет расти медленнее, чем x~). Кроме того, гипотеза Римана влечёт за собой «оптимальную» оценку на возможные отклонения \psi(x)~ от x~, и, соответственно, на отклонения \pi(x)~ от x/\ln x~.

Элементарное доказательство: завершение Эрдеша-Сельберга[править | править вики-текст]

Основная теорема арифметики, записывающаяся после логарифмирования как


\ln n = \sum_{p,k: \, p^k|n} \ln p

тем самым формулируется в терминах арифметических функций и свёртки Дирихле как


\ln = \Lambda * \mathbf{1},

где \ln и \mathbf{1} — арифметические функции, логарифм аргумента и тождественная единица соответственно.

Формула обращения Мёбиуса позволяет перенести \mathbf{1} в правую часть:


\Lambda= \ln * \mu, \qquad \qquad (**)

где \mu — функция Мёбиуса.

Сумма левой части (**) — искомая функция \psi~. В правой части, применение формулы гиперболы Дирихле позволяет свести сумму свёртки к сумме \sum\limits_k L\left(\frac{n}{k}\right) \mu(k),~ где L~ — сумма логарифма. Применение формулы Эйлера-Маклорена позволяет записать L(n)~ как

L(n)=n\ln n - n + \frac{1}{2} \ln n + \gamma + o(1),

где \gamma — постоянная Эйлера. Выделяя из этого выражения слагаемые, имеющие вид \sum\limits_k F\left(\frac{n}{k}\right)~ для подходящим образом подобранной функции F (а именно, F(x)=x-\gamma-1~), и обозначая через R остаток, имеем в силу обращения Мёбиуса

\Lambda = F + \sum\limits_k R\left(\frac{n}{k}\right) \mu(k).~

Поскольку F(x)\sim x, остаётся проверить, что второе слагаемое имеет вид o(x)~. Применение леммы Аскера позволяет свести эту задачу к проверке утверждения M(x)=o(x),~ где M(x)=\sum\limits_{n\leqslant x} \mu(n)~ — функция Мертенса, сумма функции Мёбиуса.

Малость сумм функции Мёбиуса на подпоследовательности следует из формулы обращения, применённой к функции 1/n~.

Далее, функция Мёбиуса в алгебре арифметических функций (с мультипликативной операцией-свёрткой) удовлетворяет «дифференциальному уравнению» первого порядка

\mu'=-\mu*\Lambda,~

где f'(n)=f(n)\cdot \ln n~ — дифференцирование в этой алгебре (переход к рядам Дирихле превращает его в обычное дифференцирование функции). Поэтому она удовлетворяет и уравнению второго порядка

\mu''= \mu*(\Lambda*\Lambda - \Lambda').~

«Усредение» этого уравнения позволяет и то, что асимптотика суммы функции \Lambda_2=\Lambda*\Lambda+\Lambda~ оценивается лучше асимптотики сумм \Lambda~, позволяет оценивать отношение \frac{M(x)}{x}~ через средние значения такого отношения. Такая оценка вкупе с «малостью по подпоследовательности» и позволяет получить искомую оценку M(x)=o(x)~.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11. - с. 30-31
  2. Дербишир, 2010, с. 178-179.
  3. Ахиезер Н. И. П. Л. Чебышёв и его научное наследие.
  4. http://people.reed.edu/~jerry/361/lectures/rvm.pdf
  5. Weisstein, Eric W. Explicit Formula (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература[править | править вики-текст]

Классические труды[править | править вики-текст]

Современная литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]