Гипотеза Римана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск
Задачи тысячелетия
Равенство классов P и NP
Гипотеза Ходжа
Гипотеза Пуанкаре
Гипотеза Римана
Квантовая теория
Янга — Миллса
Существование и гладкость 
решений уравнений
Навье — Стокса
Гипотеза Берча и
Свиннертона — Дайера

Гипо́теза Ри́мана о распределении нулей дзета-функции Римана была сформулирована Бернхардом Риманом в 1859 году.

Функция ζ(s) определена для всех комплексных s\ne 1, и имеет нули для отрицательных целых s=-2,-4,-6\dots. Из функционального уравнения \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin{\pi s \over 2} \Gamma(1-s) \zeta(1-s), и явного выражения \frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s} при \operatorname{Re}\,s>1 следует, что все остальные нули, называемые «нетривиальными», расположены в полосе 0\leqslant\operatorname{Re}\,s\leqslant1 симметрично относительно так называемой «критической линии» {1\over2}+i t,\; t\in\mathbb{R}. Гипотеза Римана утверждает, что:

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную {1\over2}

Обобщённая гипотеза Римана состоит из того же самого утверждения для обобщений дзета-функций, называемых L-функциями Дирихле.

На 2004 год проверены более 1013 первых нулей. [1]

Большинство математиков верят, что гипотеза верна. Многие утверждения о распределении простых чисел, в том числе о сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности гипотезы Римана. В то время как не существует простой закономерности, описывающей распределение простых чисел среди натуральных, Риман обнаружил, что число π(x) простых чисел, не превосходящих x, выражается через распределение нетривиальных нулей дзета-функции.

Гипотеза Римана входит в список семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс) выплатит приз в 1 млн. долларов США. Интересно, что опровержение гипотезы Римана не даст права на получение приза.[1]

Содержание

[править] История

В 1896 Адамар и Валле-Пуссен независимо доказали, что нули дзета-функции не могут лежать на прямых \operatorname{Re}\,s=0 и \operatorname{Re}\,s=1.

В 1900 Давид Гильберт включил гипотезу Римана в список 23 нерешённых проблем как часть восьмой проблемы, совместно с гипотезой Гольдбаха.

В 1914 Харди доказал, что на критической линии находится бесконечно много нулей, а позже Харди и Литлвуд дали оценку снизу доли нулей, лежащей на критической линии, которую потом улучшали разные математики.

Некоторые нетривиальные нули располагаются экстремально близко друг к другу. Это свойство известно как «явление Лемера (Lehmer)».

Титчмарш, Ворос в 1987 показали, что дзета-функция может быть разложена в произведение через свои нетривиальные нули в разложение Адамара.

Группа математиков Университета Пардье (Purdue University, USA) под руководством Луи де Бранжа (Louis De Branges de Bourcia) предложила доказательство гипотезы Римана [2], которое, однако, оказалось неверным [3].

[править] Эквивалентные формулировки

В 1901 Хельге фон Кох показал, что гипотеза Римана эквивалентна следующему утверждению о распределении простых чисел:

\pi(x) = \int\limits_2^x\!\frac{dt}{\ln t} + O\left(\sqrt x\ln x\right) при x\rightarrow\infty

[править] Интересные факты

Знаменит ответ Гильберта на вопрос о том, каковы будут его действия, если он по какой-либо причине проспит пятьсот лет и вдруг проснется. Математик ответил, что самым первым делом он спросит, была ли доказана гипотеза Римана.

[править] Примечания

  1. ↑ Гипотеза Римана

[править] Ссылки

[править] См. также


Формула Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.
Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%B7%D0%B0_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0»