Гипотеза Римана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Задачи тысячелетия
Равенство классов P и NP
Гипотеза Ходжа
Гипотеза Пуанкаре
Гипотеза Римана
Квантовая теория
Янга — Миллса
Существование и гладкость 
решений уравнений
Навье — Стокса
Гипотеза
Бёрча — Свиннертон-Дайера

Гипо́теза Ри́мана о распределении нулей дзета-функции Римана была сформулирована Бернхардом Риманом в 1859 году.

В то время как не найдено какой-либо закономерности, описывающей распределение простых чисел среди натуральных, Риман обнаружил, что количество простых чисел, не превосходящих x, — функция распределения простых чисел, обозначаемая \pi(x) — выражается через распределение так называемых «нетривиальных нулей» дзета-функции.

Многие утверждения о распределении простых чисел, в том числе о вычислительной сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности гипотезы Римана.

Гипотеза Римана входит в список семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс) выплатит награду в один миллион долларов США. В случае публикации контрпримера к гипотезе Римана, учёный совет института Клэя вправе решить, можно ли считать данный контрпример окончательным решением проблемы, или же проблема может быть переформулирована в более узкой форме и оставлена открытой (в последнем случае автору контрпримера может быть выплачена небольшая часть награды)[1][2].

Формулировка[править | править вики-текст]

Действительная (красная) и мнимая (синяя) компоненты дзета-функции

Дзета-функция Римана \zeta(s) определена для всех комплексных s\ne 1 и имеет нули в отрицательных чётных s=-2,-4,-6\dots.

из функционального уравнения \zeta(s) = 2^s \pi^{s} \sin{\pi s \over 2} \frac1{\sin\pi s\Gamma(s)}\zeta(1-s) и явного выражения \frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s} при \operatorname{Re}\,s>1, где \mu(n) — функция Мёбиуса, следует, что все остальные нули, называемые «нетривиальными», расположены в полосе 0\leqslant\operatorname{Re}\,s\leqslant1 симметрично относительно так называемой «критической линии» {1\over2}+i t,\; t\in\mathbb{R}.

Гипотеза Римана[править | править вики-текст]

Гипотеза Римана утверждает, что:

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную {1\over2}.

Обобщённая гипотеза Римана[править | править вики-текст]

Обобщённая гипотеза Римана состоит из того же самого утверждения для обобщений дзета-функций, называемых L-функциями Дирихле.

Эквивалентные формулировки[править | править вики-текст]

В 1901 году Хельге фон Кох показал, что гипотеза Римана эквивалентна следующему утверждению о распределении простых чисел:

\pi(x) = \int\limits_2^x\!\frac{dt}{\ln t} + O\left(\sqrt x\ln x\right) при x\rightarrow\infty.

Ещё несколько эквививалентных формулировок:

  • Для всех x \geqslant 2657 выполняется неравенство \left|\pi(x) - \int\limits_2^x\!\frac{dt}{\ln t}\right| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \ln x,
  • Для любого положительного \varepsilon выполняется неравенство M(n) = O(n^{1/2+\varepsilon}) \,, где M(n) — функция Мертенса, см. также обозначение O большое. Более сильная гипотеза |M(n)|<\sqrt{n}\, была опровергнута в 1985 году[5].
  • Гипотеза Римана эквивалентна следующему равенству: \int\limits_{0}^{\infty}\frac{(1-12t^2)}{(1+4t^2)^3}\int\limits_{1/2}^{\infty}\log|\zeta(\sigma+i t)|\,d\sigma \,dt=\frac{\pi(3-\gamma)}{32}.
  • Если гипотеза Римана неверна, то существует алгоритм, который рано или поздно обнаружит её нарушение. Отсюда следует, что если отрицание гипотезы Римана недоказуемо в арифметике Пеано, то гипотеза Римана верна.
  • Гипотеза Римана также эквивалентна утверждению о том, что следующее диофантово уравнение не имеет решений в неотрицательных целых числах:
\begin{align}&(elg^2 + \alpha - (b - xy) q^2)^2 + (q - b^{5^{60}})^2 + (\lambda + q^4 - 1 - \lambda b^5)^2 + \\
&(\theta + 2z - b^5)^2 + (u + t \theta - l)^2 + (y + m \theta - e)^2 + (n - q^{16})^2 + \\
&((g + eq^3 + lq^5 + (2(e - z \lambda)(1 + xb^5 + g)^4 + \lambda b^5 + \lambda b^5 q^4)q^4)(n^2 - n) + \\
&(q^3 - bl + l + \theta \lambda q^3 + (b^5-2)q^5)(n^2 - 1) - r)^2 + \\
&(p - 2w s^2 r^2 n^2)^2 + (p^2 k^2 - k^2 + 1 - \tau^2)^2 + \\
&(4(c - ksn^2)^2 + \eta - k^2)^2 + (r + 1 + hp - h - k)^2 + \\
&(a - (wn^2 + 1)rsn^2)^2 + (2r + 1 + \phi - c)^2 + \\
&(bw + ca - 2c + 4\alpha \gamma - 5\gamma - d)^2 + \\
&((a^2 - 1)c^2 + 1 - d^2)^2 + ((a^2 - 1)i^2c^4 + 1 - f^2)^2 + \\
&(((a + f^2(d^2 - a))^2 - 1) (2r + 1 + jc)^2 + 1 - (d + of)^2)^2 + \\
&(((z+u+y)^2+u)^2 + y-K)^2 = 0
\end{align}
где K — некоторый большой фиксированный целочисленный коэффициент (который, в принципе, можно указать в явном виде), а остальные буквы обозначают переменные. Степень этого уравнения может быть понижена до 4 ценой увеличения количества переменных.[6][7][8][9][10]

История[править | править вики-текст]

В 1896 году Адамар и Валле-Пуссен независимо доказали, что нули дзета-функции не могут лежать на прямых \operatorname{Re}\,s=0 и \operatorname{Re}\,s=1.

В 1900 году Давид Гильберт включил гипотезу Римана в список 23 нерешённых проблем как часть восьмой проблемы, совместно с гипотезой Гольдбаха.

В 1914 году Харди доказал, что на критической линии находится бесконечно много нулей, а позже совместно с Литлвудом дал нижнюю оценку доли нулей, лежащей на критической линии, которую потом улучшали разные математики.

Некоторые нетривиальные нули располагаются экстремально близко друг к другу. Это свойство известно как «явление Лемера».[11]

Титчмарш и Ворос в 1987 году показали, что дзета-функция может быть разложена в произведение через свои нетривиальные нули в разложение Адамара.

На 2004 год проверены более 1013 первых нулей.[12]

Группа математиков Университета Пердью (США) под руководством Луи де Бранжа (Louis De Branges de Bourcia) предложила доказательство гипотезы Римана,[13] которое, однако, оказалось неверным.[1]

Соображения об истинности гипотезы[править | править вики-текст]

В обзорных работах (Bombieri 2000, Conrey 2003, Sarnak 2008) отмечается, что данные в пользу истинности гипотезы Римана сильны, но оставляют место для обоснованных сомнений. Отдельные авторы, однако, убеждены в ложности гипотезы (в частности, так считал Джон Литлвуд).

Среди данных, позволяющих предполагать истинность гипотезы, можно выделить успешное доказательство сходных гипотез (в частности, гипотезы Римана о многообразиях над конечными полями[14]). Это наиболее сильный теоретический довод, позволяющий предположить, что условие Римана выполняется для всех дзета-функций, связанных с автоморфными отображениями (англ.)русск., что включает классическую гипотезу Римана. Истинность аналогичной гипотезы уже доказана[15] для дзета-функции Сельберга (англ.)русск., в некоторых отношениях сходной с функцией Римана, и для дзета-функции Госса (англ.)русск. (аналог дзета-функции Римана для функциональных полей).

С другой стороны, некоторые из дзета-функций Эпштейна не удовлетворяют условию Римана, хотя они имеют бесконечное число нулей на критической линии. Однако эти функции не выражаются через ряды Эйлера и не связаны напрямую с автоморфными отображениями.

К «практическим» доводам в пользу истинности Римановской гипотезы относится вычислительная проверка большого числа нетривиальных нулей дзета-функции в рамках проекта ZetaGrid.

Связанные проблемы[править | править вики-текст]

Две гипотезы Харди-Литтлвуда[править | править вики-текст]

В 1914 году Годфри Харольд Харди доказал,[16] что функция \zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr) имеет бесконечно много вещественных нулей.

Пусть N(T) есть количество вещественных нулей, а N_0(T) количество нулей нечётного порядка функции \zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr), лежащих на интервале (0,T].

Две гипотезы Харди и Литлвуда[17] (о расстоянии между вещественными нулями \zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr) и о плотности нулей \zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr) на интервалах (T,T+H] при достаточно большом T > 0, H = T^{a + \varepsilon} и как можно меньшем значении a > 0, где \varepsilon > 0 сколь угодно малое число), определили два направления в исследовании дзета-функции Римана:

  1. Для любого \varepsilon > 0 существует T_0 = T_0(\varepsilon) > 0, такое что при T \geqslant T_0 и H=T^{0{,}25+\varepsilon} интервал (T,T+H] содержит нуль нечётного порядка функции \zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr).
  2. Для любого \varepsilon > 0 существуют такие T_0 = T_0(\varepsilon) > 0 и c = c(\varepsilon) > 0, что при T \geqslant T_0 и H=T^{0{,}5+\varepsilon} справедливо неравенство N_0(T+H)-N_0(T) \geqslant cH.

Гипотеза А. Сельберга[править | править вики-текст]

В 1942 году Атле Сельберг исследовал проблему Харди-Литтлвуда 2 и доказал, что для любого \varepsilon > 0 существуют T_0 = T_0(\varepsilon) > 0 и c = c(\varepsilon) > 0, такие что для T \geqslant T_0 и H=T^{0{,}5+\varepsilon} справедливо неравенство N(T+H)-N(T) \geqslant cH\log T.

В свою очередь, Атле Сельберг высказал гипотезу,[18] что можно уменьшить показатель степени a = 0{,}5 для величины H=T^{0{,}5+\varepsilon}.

В 1984 году А. А. Карацуба доказал[19][20][21], что при фиксированном \varepsilon с условием 0<\varepsilon < 0{,}001, достаточно большом T и H = T^{a+\varepsilon}, a = \tfrac{27}{82} = \tfrac{1}{3} -\tfrac{1}{246} промежуток (T,T+H) содержит не менее cH\ln T вещественных нулей дзета-функции Римана \zeta\Bigl(\tfrac{1}{2}+it\Bigr). Тем самым он подтвердил гипотезу Сельберга.

Оценки А. Сельберга и А. А. Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при T\to +\infty.

В 1992 году А. А. Карацуба доказал,[22] что аналог гипотезы Сельберга справедлив для «почти всех» промежутков (T,T+H], H = T^{\varepsilon}, где \varepsilon — сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубой, позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках (T, T+H], длина H которых растёт медленнее любой, даже сколь угодно малой, степени T. В частности, он доказал, что для любых заданных чисел \varepsilon, \varepsilon_{1} с условием 0<\varepsilon, \varepsilon_{1}<1 почти все промежутки (T,T+H] при H\geqslant\exp{\{(\ln T)^{\varepsilon}\}} содержат не менее H(\ln T)^{1-\varepsilon_{1}} нулей функции \zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr). Эта оценка весьма близка к той, что следует из гипотезы Римана.

Интересные факты[править | править вики-текст]

  • Знаменит ответ Гильберта на вопрос о том, каковы будут его действия, если он по какой-либо причине проспит пятьсот лет и вдруг проснётся. Математик ответил, что первым делом он спросит, была ли доказана гипотеза Римана.
  • Гипотеза Римана относится к знаменитым открытым проблемам математики, в число которых в своё время входила и теорема Ферма. Как известно, Ферма сделал запись о том, что доказал свою теорему, не оставив самого доказательства, и тем самым бросил вызов следующим поколениям математиков. Британский математик Г. Х. Харди использовал ситуацию с этими проблемами для обеспечения собственной безопасности во время морских путешествий. Каждый раз перед отправкой в путешествие он отправлял одному из своих коллег телеграмму: ДОКАЗАЛ ГИПОТЕЗУ РИМАНА ТЧК ПОДРОБНОСТИ ПО ВОЗВРАЩЕНИИ ТЧК. Харди считал, что бог не допустит повторения ситуации с теоремой Ферма и позволит ему благополучно вернуться из плавания.[23]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Weisstein, Eric W. Riemann Hypothesis (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. Rules for the Millennium Prizes
  3. Что несколько необычно, так как \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\sigma(n)}{n\ \log \log n}=e^\gamma.
    Неравенство нарушается при n = 5040 и некоторых меньших значениях, но Гай Робин в 1984 году показал, что оно соблюдается для всех бóльших целых, если и только если гипотеза Римана верна.
  4. Jeffrey C. Lagarias (2002). «An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis». The American Mathematical Monthly 109 (6): 534–543. DOI:10.2307/2695443.
  5. Andrew Odlyzko, Herman te Riele (1985). «Disproof of the Mertens conjecture». Journal für die reine und angewandte Mathematik 357: 138–160.
  6. Yuri Matiyasevich, Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done
  7. Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. — Наука, 1993.
  8. Jones J. P., Undecidable diophantine equations
  9. Martin Davis, Diophantine Equations & Computation
  10. Martin Davis, The Incompleteness Theorem
  11. Weisstein, Eric W. Lehmer's Phenomenon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  12. Ed Pegg Jr. «Ten Trillion Zeta Zeros» (англ.)
  13. Purdue mathematician claims proof for Riemann hypothesis. Purdue News
  14. Deligne P. (1974). «La conjecture de Weil. I». Publications Mathématiques de l'IHÉS 43: 273–307. DOI:10.1007/BF02684373.
  15. Sheats J. (1998). «The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for Fq[T]». Journal of Number Theory 71 (1): 121–157. DOI:10.1006/jnth.1998.2232.
  16. Hardy, G.H. (1914). «Sur les zeros de la fonction \zeta(s)». Comp. Rend. Acad. Sci. (158): 1012–1014.
  17. Littlewood, J.E. (1921). «The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line». Math. Zeits. (10): 283–317.
  18. Selberg, A. (1942). «On the zeros of Riemann's zeta-function». Shr. Norske Vid. Akad. Oslo (10): 1–59.
  19. Карацуба, А. А. (1984). «О нулях функции ζ(s) на коротких промежутках критической прямой». Изв. РАН. Сер. матем. (48:3): 569–584.
  20. Карацуба, А. А. (1984). «Распределение нулей функции ζ(1/2 + it)». Изв. РАН. Сер. матем. (48:6): 1214–1224.
  21. Карацуба, А. А. (1985). «О нулях дзета-функции Римана на критической прямой». Труды МИАН (167): 167–178.
  22. Карацуба, А. А. (1992). «О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой». Изв. РАН. Сер. матем. (56:2): 372–397.
  23. С. Сингх Великая теорема Ферма. ISBN 5-900916-61-8

Ссылки[править | править вики-текст]