Гипотеза Римана

Задачи тысячелетия
Равенство классов P и NP
Гипотеза Ходжа
Гипотеза Пуанкаре
Гипотеза Римана
Квантовая теория Янга — Миллса
Существование и гладкость  решений уравнений Навье — Стокса
Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Гипо́теза Ри́мана о распределении нулей дзета-функции Римана была сформулирована Бернхардом Риманом в 1859 году.

В то время как не существует простой закономерности, описывающей распределение простых чисел среди натуральных, Риман обнаружил, что количество простых чисел, не превосходящих $x$, обозначаемое $\pi(x)$ (англ. Prime-counting function), выражается через распределение нетривиальных нулей дзета-функции. Многие утверждения о распределении простых чисел, в том числе о вычислительной сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности гипотезы Римана.

Гипотеза Римана входит в список семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс) выплатит приз в один миллион долларов США. В случае публикации контрпримера к гипотезе Римана, учёный совет института Клэя вправе решить, можно ли считать данный контрпример окончательным решением проблемы, или же проблема может быть переформулирована в более узкой форме и оставлена открытой (в последнем случае автору контрпримера может быть выплачен небольшой приз).

$\Pi_0(x) = \operatorname{Li}(x) - \sum_\rho \operatorname{Li}(x^\rho) -\log(2) +\int_x^\infty\frac{dt}{t(t^2-1)\log(t)}$

Формулировка

Дзета-функция Римана $\zeta(s)$ определена для всех комплексных $s\ne 1$ и имеет нули в отрицательных чётных $s=-2,-4,-6\dots$. Из функционального уравнения $\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin{\pi s \over 2} \Gamma(1-s) \zeta(1-s)$ и явного выражения $\frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}$ при $\operatorname{Re}\,s>1$ следует, что все остальные нули, называемые «нетривиальными», расположены в полосе $0\leqslant\operatorname{Re}\,s\leqslant1$ симметрично относительно так называемой «критической линии» ${1\over2}+i t,\; t\in\mathbb{R}$.

Гипотеза Римана

Гипотеза Римана утверждает, что:

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную ${1\over2}$.

Обобщённая гипотеза Римана

Обобщённая гипотеза Римана состоит из того же самого утверждения для обобщений дзета-функций, называемых L-функциями Дирихле.

Эквивалентные формулировки

В 1901 году Хельге фон Кох показал, что гипотеза Римана эквивалентна следующему утверждению о распределении простых чисел:

$\pi(x) = \int\limits_2^x\!\frac{dt}{\ln t} + O\left(\sqrt x\ln x\right)$ при $x\rightarrow\infty.$

Ещё несколько эквививалентных формулировок:

• Для всех $x \geqslant 2657$ выполняется неравенство $\left|\pi(x) - \int\limits_2^x\!\frac{dt}{\ln t}\right| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \ln x,$
• Для всех $n>1$ выполняется неравенство $\sigma(n) < H_n+e^{H_n}\ln H_n,$ где $\sigma(n)$ — сумма делителей числа n, а $H_n$ — n-ое гармоническое число.
• Для всех натуральных n выполняется неравенство $|M(n)|<\sqrt{n},$ где $M(n)$ — функция Мертенса.

• Если гипотеза Римана неверна, то существует алгоритм, который рано или поздно обнаружит её нарушение. Отсюда следует, что если отрицание гипотезы Римана недоказуемо в арифметике Пеано, то гипотеза Римана верна.

• Гипотеза Римана также эквивалентна утверждению о том, что следующее диофантово уравнение не имеет решений в неотрицательных целых числах:

$\begin{align}&(elg^2 + \alpha - bq^2)^2 + (q - b^{5^{60}})^2 + (\lambda + q^4 - 1 - \lambda b^5)^2 + \\ &(\theta + 2z - b^5)^2 + (u + t \theta - l)^2 + (y + m \theta - e)^2 + (n - q^{16})^2 + \\ &((g + eq^3 + lq^5 + (2(e - z \lambda)(1 + g)^4 + \lambda b^5 + \lambda b^5 q^4)q^4)(n^2 - n) + \\ &(q^3 - bl + l + \theta \lambda q^3 + (b^5-2)q^5)(n^2 - 1) - r)^2 + \\ &(p - 2w s^2 r^2 n^2)^2 + (p^2 k^2 - k^2 + 1 - \tau^2)^2 + \\ &(4(c - ksn^2)^2 + \eta - k^2)^2 + (r + 1 + hp - h - k)^2 + \\ &(a - (wn^2 + 1)rsn^2)^2 + (2r + 1 + \phi - c)^2 + \\ &(bw + ca - 2c + 4\alpha \gamma - 5\gamma - d)^2 + \\ &((a^2 - 1)c^2 + 1 - d^2)^2 + ((a^2 - 1)i^2c^4 + 1 - f^2)^2 + \\ &(((a + f^2(d^2 - a))^2 - 1) (2r + 1 + jc)^2 + 1 - (d + of)^2)^2 + \\ &(((z+u+y)^2+u)^2 + y-K)^2 = 0, \end{align}$

где K — некоторый большой фиксированный целочисленный коэффициент (который, в принципе, можно вычислить в явном виде), а остальные буквы обозначают переменные. Степень этого уравнения может быть понижена до 4 ценой увеличения количества переменных.

История

В 1896 году Адамар и Валле-Пуссен независимо доказали, что нули дзета-функции не могут лежать на прямых $\operatorname{Re}\,s=0$ и $\operatorname{Re}\,s=1$.

В 1900 году Давид Гильберт включил гипотезу Римана в список 23 нерешённых проблем как часть восьмой проблемы, совместно с гипотезой Гольдбаха.

В 1914 году Харди доказал, что на критической линии находится бесконечно много нулей, а позже совместно с Литлвудом дал нижнюю оценку доли нулей, лежащей на критической линии, которую потом улучшали разные математики.

Некоторые нетривиальные нули располагаются экстремально близко друг к другу. Это свойство известно как «явление Лемера».

Титчмарш и Ворос в 1987 году показали, что дзета-функция может быть разложена в произведение через свои нетривиальные нули в разложение Адамара.

На 2004 год проверены более 10¹³ первых нулей.

Группа математиков Университета Пердью (США) под руководством Луи де Бранжа (Louis De Branges de Bourcia) предложила доказательство гипотезы Римана, которое, однако, оказалось неверным.

Мнение математического сообщества об истинности гипотезы

Большинство математиков^[кто?] уверено, что гипотеза Римана верна.^{[источник не указан 27 дней]}

Связанные проблемы

Две гипотезы Харди-Литтлвуда

В 1914 году Годфри Харольд Харди доказал, что функция $\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)$ имеет бесконечно много вещественных нулей.

Пусть $N(T)$ есть количество вещественных нулей, а $N_0(T)$ количество нулей нечётного порядка функции $\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)$, лежащих на интервале $(0,T]$.

Две гипотезы Харди и Литллвуда (о расстоянии между вещественными нулями $\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)$ и о плотности нулей $\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)$ на интервалах $(T,T+H]$ при достаточно большом $T > 0$, $H = T^{a + \varepsilon}$ и как можно меньшем значении $a > 0$, где $\varepsilon > 0$ сколь угодно малое число), определили два направления в исследовании дзета-функции Римана:

1. Для любого $\varepsilon > 0$ существует $T_0 = T_0(\varepsilon) > 0$, такое что при $T \geq T_0$ и $H=T^{0.25+\varepsilon}$ интервал $(T,T+H]$ содержит нуль нечётного порядка функции $\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)$.
2. Для любого $\varepsilon > 0$ существуют такие $T_0 = T_0(\varepsilon) > 0$ и $c = c(\varepsilon) > 0$, что при $T \geq T_0$ и $H=T^{0.5+\varepsilon}$ справедливо неравенство $N_0(T+H)-N_0(T) \geq cH$.

Гипотеза А. Сельберга

В 1942 году Атле Сельберг исследовал проблему Харди-Литтлвуда 2 и доказал, что для любого $\varepsilon > 0$ существуют $T_0 = T_0(\varepsilon) > 0$ и $c = c(\varepsilon) > 0$, такие что для $T \geq T_0$ и $H=T^{0.5+\varepsilon}$ справедливо неравенство $N(T+H)-N(T) \geq cH\log T$.

В свою очередь, Атле Сельберг высказал гипотезу, что можно уменьшить показатель степени $a = 0.5$ для величины $H=T^{0.5+\varepsilon}$.

В 1984 году А. А. Карацуба доказал, что при фиксированном $\varepsilon$ с условием $0<\varepsilon < 0.001$, достаточно большом $T$ и $H = T^{a+\varepsilon}$, $a = \tfrac{27}{82} = \tfrac{1}{3} -\tfrac{1}{246}$, промежуток $(T,T+H)$ содержит не менее $cH\ln T$ вещественных нулей дзета-функции Римана $\zeta\Bigl(\tfrac{1}{2}+it\Bigr)$. Тем самым он подтвердил гипотезу Сельберга.

Оценки А. Сельберга и А. А. Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при $T\to +\infty$.

В 1992 году А. А. Карацуба доказал, что аналог гипотезы Сельберга справедлив для «почти всех» промежутков $(T,T+H]$, $H = T^{\varepsilon}$, где $\varepsilon$ — сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубой, позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках $(T, T+H]$, длина $H$ которых растёт медленнее любой, даже сколь угодно малой, степени $T$. В частности, он доказал, что для любых заданных чисел $\varepsilon$, $\varepsilon_{1}$ с условием $0<\varepsilon, \varepsilon_{1}<1$ почти все промежутки $(T,T+H]$ при $H\ge\exp{\{(\ln T)^{\varepsilon}\}}$ содержат не менее $H(\ln T)^{1-\varepsilon_{1}}$ нулей функции $\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)$. Эта оценка весьма близка к той, что следует из гипотезы Римана.

Интересные факты

Знаменит ответ Гильберта на вопрос о том, каковы будут его действия, если он по какой-либо причине проспит пятьсот лет и вдруг проснется. Математик ответил, что самым первым делом он спросит, была ли доказана гипотеза Римана.

См. также

• Открытые математические проблемы

Ссылки

• Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М.: Физматлит, 1994.
• Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. Астрель, 2010. 464 с. ISBN 978-5-271-25422-2.
• Николенко С. Проблемы 2000 года: гипотеза Римана // Компьютерра. — 2005. — В. 35.