Унитарный оператор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Унитарное преобразование»)
Перейти к: навигация, поиск

Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор U : H → H на гильбертовом пространстве H, который удовлетворяет соотношению

U^*U=UU^*=I \!

где U — эрмитово сопряжённый к U оператор, и I : H → H единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим:

  1. U сохраняет скалярное произведение 〈  ,  〉 гильбертового пространства, то есть, для всех векторов x и y в гильбертовом пространстве, \langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle.


Это также эквивалентно, казалось бы более слабому условию:

  1. U сохраняет скалярное произведение, и
  2. образ U — плотное множество.

Чтобы увидеть это, заметим, что U изометричен (а поэтому является ограниченным линейным оператором). Это следует из того, что U сохраняет скалярное произведение. Тот факт, что образ U - плотное множество. Очевидно, что U−1 = U.

Унитарный элемент это обобщение понятия унитарного оператора. В унитарной *-алгебре, элемент U алгебры называется унитарным элементом если

U^*U=UU^*=I

где I единичный элемент.[1]

Свойства унитарных преобразований:

  • оператор унитарного преобразования всегда обратим
  • если оператор \hat H эрмитов, то оператор \hat U = \exp(i\hat H) унитарен.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Вращения в  \mathbb{R}^2  — это простейший нетривиальный пример унитарного оператора. Вращения не изменяют длины векторов и угол между двумя векторами. Этот пример также может быть обобщён на  \mathbb{R}^3 .
  • В векторном пространстве  \mathbb{C} комплексных чисел умножение на число с модулем  1 , то есть число вида  e^{i \theta} для  \theta \in \mathbb{R} , является унитарным оператором.  \theta называется фазой. Можно заметить, что значение  \theta , кратное  2\pi , не влияет на результат, поэтому множество независимых унитарных операторов в  \mathbb{C} топологически эквивалентно окружности.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Спектр унитарного оператора U лежит на единичной окружности. Это можно увидеть из спектральной теоремы для нормального оператора. По этой теореме, U унитарно эквивалентно умножению на измеримую по Борелю функцию  f на  L^2(\mu) , для некоторого пространства с мерой ( X ,  \mu ). Из  UU^*  =I следует  |f(x)|^2 = 1 .

Унитарные преобразования в физике[править | править вики-текст]

В квантовой механике состояние квантовой системы описывается вектором в гильбертовом пространстве. Норма вектора состояния изолированной квантовой системы описывает вероятность найти систему хоть в каком-либо состоянии, а значит, она обязана равняться единице. Соответственно, эволюция квантовой системы во времени — это некоторый оператор, зависящий от времени, и, из-за требования сохранения нормы, он является унитарным. Неунитарные операторы эволюции (или, что то же самое, неэрмитовые гамильтонианы) для изолированной квантовой системы запрещены в квантовой механике.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Doran Robert S. Characterizations of C*-Algebras: The Gelfand-Naimark Theorems. — New York: Marcel Dekker, 1986. — ISBN 0824775694.