Спектр оператора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Спектр оператора — множество чисел, характеризующее линейный оператор. Применяется в линейной алгебре, функциональном анализе и квантовой механике.

Конечномерный случай[править | править вики-текст]

Пусть A — оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве E. Спектром оператора (обычно обозначается \sigma(A)) называется множество всех его собственных значений.

Квадратную матрицу порядка n можно рассматривать как линейный оператор в n-мерном пространстве, что позволяет перенести на матрицы «операторные» термины. В таком случае говорят о спектре матрицы.

Общее определение[править | править вики-текст]

Пусть A — оператор, действующий в банаховом пространстве E над \mathbb C. Число λ называется регулярным для оператора A, если оператор R(\lambda)=(A - \lambda I)^{-1}, называемый резольвентой оператора A, определён на всём E и непрерывен. Множество регулярных значений оператора A называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора \sigma(A). Спектр оператора представляет собой компакт в \mathbb C. Спектр линейного ограниченного оператора непуст.

Внутри спектра оператора можно выделять части, не одинаковые по своим свойствам. Одной из основных классификаций спектра является следующая:

  1. дискретным (точечным) спектром \sigma_p(A) называется множество таких \lambda, при которых оператор A - \lambda I не инъективен. Дискретный спектр является множеством всех собственных значений оператора A; в конечномерном случае присутствует только точечный спектр;
  2. непрерывным спектром \sigma_c(A) называется множество значений \lambda, при которых резольвента (A - \lambda I)^{-1} определена на всюду плотном множестве в E, но не является непрерывной (то есть оператор A - \lambda I инъективен, но не сюръективен, а его образ всюду плотен);
  3. остаточным спектром \sigma_r(A) называется множество точек спектра, не входящих ни в дискретную, ни в непрерывную части (то есть оператор A - \lambda I инъективен, не сюръективен, а его образ не является всюду плотным).

Максимум модулей точек спектра оператора A называется спектральным радиусом этого оператора и обозначается через r(A). При этом выполняется равенство r(A) = \lim_{n \to \infty} \|A^n\|^{1/n}.

В комплексном случае резольвента является голоморфной операторнозначной функцией на резольвентном множестве. В частности, при \lambda>r(A) она может быть разложена в ряд Лорана с центром в точке z=0.

В квантовой механике[править | править вики-текст]

Спектр самосопряжённых операторов играет важную роль в квантовой механике, определяя множество возможных значений наблюдаемой при измерении. В частности, спектр гамильтониана определяет допустимые уровни энергии квантовой системы.

Непрерывный спектр[править | править вики-текст]

Непрерывный спектр — это спектр значений физической величины, в котором в отличие от дискретного спектра значение этой величины определено для каждого собственного состояния системы, причем бесконечно малое изменение состояния системы приводит к бесконечно малому изменению физической величины. В качестве физической величины могут выступать: координата, импульс, энергия, орбитальный момент движения и т. д. Так как произвольная волновая функция Ψ может быть разложена в ряд по собственным функциям величины с дискретным спектром, то она может быть также разложена и в интеграл по полной системе собственных функций величины с непрерывным спектром.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Математическая эниклопедия. — М.: «Советская энциклопедия», 1984. — Т. 5 Слу - Я. — 1248 с.