Числа звёздчатого октаэдра

124 магнитных шара, расположенные в форме звёздчатого октаэдра

Числа звёздчатого октаэдра (англ. stella octangula numbers) — фигурные числа, подсчитывающие число шаров, которые можно расположить внутри звёздчатого октаэдра. Эти числа равны: 0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, … (последовательность A007588 в OEIS) и в общем случае задаются уравнением $n(2n^{2}-1)$. Производящая функция чисел звёздчатого октаэдра: ${\frac {x(x^{2}+10x+1)}{(x-1)^{4}}}=x+14x^{2}+51x^{3}+124x^{4}+...$

Формулы

Поскольку звёздчатый октаэдр можно представить как комбинацию октаэдра и восьми тетраэдров меньшего размера, формула для чисел звёздчатого октаэдра представима как $StOct_{n}=O_{n}+8T_{n-1}$, где $O_{n}$ — $n$-ное октаэдрическое число, а $T_{n}$ — $n$-ное тетраэдрическое число. Поскольку $O_{n}={\frac {1}{3}}n(2n^{2}+1)$, а $T_{n-1}={\frac {1}{6}}(n-1)n(n+1)$, получим $StOct_{n}={\frac {1}{3}}n(2n^{2}+1)+{\frac {8}{6}}(n-1)n(n+1)={\frac {1}{3}}(n(2n^{2}+1)+4(n-1)n(n+1))={\frac {1}{3}}(2n^{3}+n+4n^{3}-4n)={\frac {1}{3}}(6n^{3}-3n)=n(2n^{2}-1)$.

Рекуррентные формулы $O_{n+1}=O_{n}+(n+1)^{2}+n^{2}$ и $T_{n+1}=T_{n}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$ позволяют вывести следующие равенства для чисел звёздчатого октаэдра: $StOct_{1}=1$, $StOct_{n+1}=StOct_{n}+6n^{2}+6n+1$.

Уравнение Люнггрена

Единственные числа звёздчатого октаэдра, также являющиеся квадратами это $StOct_{1}=1$ и $StOct_{169}=3107^{2}=9653449$ Единственность нетривиального решения следует из единственности решения уравнения Люнггрена, диофантова уравнения $y^{2}=2x^{4}-1$.