Фигурные числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фигу́рные чи́сла — общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: «Возвести число в квадрат или в куб».

Содержание

Виды фигурных чисел[править | править исходный текст]

Различают следующие виды фигурных чисел:

  • Линейные числа — числа, не разлагающиеся на сомножители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей:
    1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … (последовательность A008578 в OEIS)
  • Плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, то есть составные:
    4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, … (последовательность A002808 в OEIS)
  • Телесные числа — числа, представимые произведением трёх сомножителей:
    8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, … (последовательность A033942 в OEIS)
  • Многоугольные числа

Многоугольные числа правильных многоугольников[править | править исходный текст]

Определение[править | править исходный текст]

n-е по порядку m-угольное число P_n есть сумма n членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна m-2.

Например, треугольные числа получаются как частичные суммы ряда ~1+2+3+4 \dots, а четырёхугольным (квадратным) числам соответствует ряд ~1+3+5+7 \dots.

Треугольные числа[править | править исходный текст]

* *
**
*
**
***
*
**
***
****
*
**
***
****
*****
*
**
***
****
*****
******

Последовательность треугольных чисел:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431, …, \frac{n(n+1)}{2}, … (последовательность A000217 в OEIS)

Свойства:

  • Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат (квадратное число).
  • Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.

Квадратные числа[править | править исходный текст]

1 4 9
* **
**
***
***
***

Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, …, n^2, … (последовательность A000290 в OEIS)

Пятиугольные числа[править | править исходный текст]

Pentagonal number.gif
1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, …, \frac{n(3n-1)}{2}, … (последовательность A000326 в OEIS)


Шестиугольные числа[править | править исходный текст]

Первые четыре шестиугольных числа.
1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, 1035, 1128, 1225, 1326, 1431, 1540, 1653, 1770, 1891, 2016, 2145, 2278, 2415, 2556, 2701, 2850, 3003, 3160, 3321, 3486, 3655, 3828, 4005, 4186, 4371, 4560 …, 2n^2-n, … (последовательность A000384 в OEIS)

Двенадцатиугольные числа[править | править исходный текст]

1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924, 1065, 1216, 1377, 1548, 1729, 1920, 2121, 2332, 2553, 2784, 3025, 3276, 3537, 3808, 4089, 4380, 4681, 4992, 5313, 5644, 5985, 6336, 6697, 7068, 7449, 7840, 8241, 8652, 9073, 9504, 9945 …, n^2+4(n^2-n), ... (последовательность A051624 в OEIS)

Эквивалентный формат представления n-го элемента: 5n^2-4n.

Общий случай[править | править исходный текст]

Последовательность k-угольных чисел имеет вид[1]:

1, k, 3 k-3, 6 k-8, 10 k-15, 15 k-24, 21 k-35, 28 k-48, 36 k-63, 45 k-80 \dots n + (k-2)\frac{n(n-1)}{2} \dots

Эквивалентный формат представления n-го элемента: \frac{n((k - 2)(n-1)+2)}{2}.

Многоугольные числа неправильных многоугольников[править | править исходный текст]

Прямоугольные числа[править | править исходный текст]

Прямоугольное число – это число, являющееся произведением двух последовательных целых чисел, то есть, n (n + 1) или n^2+n. n-ое прямоугольное число – это удвоенное n-ое треугольное число и на n больше n-ого квадратного числа.

0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462 …, n(n+1), ... (последовательность A002378 в OEIS)

Все прямоугольные числа четны.

Центрированные многоугольные числа[править | править исходный текст]

Центрированные полигональные числа[править | править исходный текст]

Центрированные полигональные числа — это класс фигурных чисел, каждое сформировано вокруг центральной точки, окружённой слоями многоугольников с постоянным числом сторон. Каждый слой содержит на одну точку больше чем предыдущий., так что начиная со второго слоя каждый слой k-угольного числа содержит на k больше точек, чем предыдущий. Каждая последовательность может быть представлена как треугольное число, умноженное на константу плюс 1. Так, например, центрированные квадратные числа — это учетверённые треугольные числа плюс 1.

Частные случаи центрированных полигональных чисел[править | править исходный текст]

Центрированные треугольные числа[править | править исходный текст]

Центрированные треугольные числа

Центрированное треугольное число – это центрированное полигональное число, которое представляет треугольник с точкой в центре и все остальные окружающие точки находятся на треугольных слоях. Центрированное треугольное число задается формулой \frac{3n^2+3n+2}{2}. Первые несколько центрированных треугольных чисел:

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460, 514, 571, 631, 694, 760, 829, 901, 976, 1054, 1135, 1219, 1306, 1396, 1489, 1585, 1684, 1786, 1891, 1999, 2110, 2224, 2341, 2461, 2584, 2710, 2839, 2971, …, \frac{3n^2+3n+2}{2}, ... (последовательность A005448 в OEIS)

Каждое центрированное треугольное число, начиная с 10, является суммой трех последовательных треугольных чисел. Также, каждое центрированное треугольное число при делении на 3 дает остаток 1 и частное (если оно положительно), есть предыдущее треугольное число. Сумма первых n центрированных треугольных чисел есть магическая константа для магического квадрата n х n (n > 2).

Центрированные треугольные простые числа[править | править исходный текст]

Центрированное треугольное простое – это центрированное треугольное число, являющееся простым. Несколько первых центрированных треугольных простых:

19, 31, 109, 199, 409, … (последовательность A125602 в OEIS).

Центрированные квадратные числа[править | править исходный текст]

Центрированное квадратное число – это центрированное полигональное число, которое представляет квадрат с точкой в центре и все остальные окружающие точки находятся на квадратных слоях. Первые несколько центрированных квадратных чисел:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, …, n^2 + (n - 1)^2, ... (последовательность A001844 в OEIS)

Формулу можно представить следующим образом

C_{4,n} = {(2n-1)^2 + 1 \over 2};

таким образом, n-ое центрированное квадратное число равно половине n-ого нечетного квадрата + 1/2. Как и другие центрированные полигональные числа, центрированные квадратные числа могут быть выражены в треугольных числах:

C_{4,n} = 1 + 4\, T_{n-1},

где

T_n

есть n-ое треугольное число. Центрированное квадратное число – это сумма двух последовательных квадратов. Все центрированные квадратные числа нечетны, и последняя цифра в десятичном представлении дает последовательность 1-5-3-5-1.Все центрированные квадратные числа и их делители дают остаток 1 при делении на 4. Отсюда все центрированные квадратные числа и их делители сравнимы с 1 или 5 по модулю 6,8 или 12. Все центрированные квадратные числа за исключением 1 есть гипотенуза в одном из пифагоровой тройке (например, 3-4-5, 5-12-13). Таким образом, каждое центрированное квадратное число равно числу точек внутри данного расстояния в кварталах от центральной точки на квадратной решетке. Разность между двумя последовательными восьмиугольными числами есть центрированное квадратное число.

Центрированные квадратные простые числа[править | править исходный текст]

Центрированные квадратные простые – это центрированные квадратные числа, являющиеся также простыми. В отличие от обычных квадратных чисел, которые никогда не являются простыми, несколько центрированных квадратных чисел просты. Несколько первых центрированных квадратных простых:

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, … (последовательность A027862 в OEIS). Замечательный пример можно увидеть в магическом квадрате 10-го столетия ал-Антаакии.

Центрированные пятиугольные числа[править | править исходный текст]

Центрированные пятиугольные числа

Центрированное пятиугольное число – это центрированное фигурное число, которое представляет пятиугольник, который содержит точку в центре и все точки, окружающие центр лежат в пятиугольных слоях. Центрированное пятиугольное число задается формулой \frac{5(n-1)^2+5(n-1)+2}{2}. Несколько первых центрированных пятиугольных чисел:

1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601, 681, 766, 856, 951, 1051, 1156, 1266, 1381, 1501, 1626, 1756, 1891, 2031, 2176, 2326, 2481, 2641, 2806, 2976, ..., \frac{5(n-1)^2+5(n-1)+2}{2}, ... (последовательность A005891 в OEIS)

Четность центрированных пятиугольных чисел подчиняется правилу четное-четное-нечетное -нечетное, и последняя десятичная цифра подчиняется правилу 6-6-1-1.

Центрированные шестиугольные числа[править | править исходный текст]


Представление формулы в виде 1+6(n(n-1)/2) показывает, что центрированное шестиугольное число для n на 1 больше чем шестикратная величина (n−1)-го треугольного числа.

Центрированные шестиугольные числа – это центрированные фигурные числа, которые представляют шестиугольник с точкой в центре и все остальные окружающие точки находятся в шестиугольной решётке. Центрированное шестиугольное число задается формулой n^3-(n-1)^3=3n(n-1)+1. Несколько первых центрированных шестиугольных чисел:

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919, ..., 1+6\left({1\over 2}n(n-1)\right), ...

Можно заметить, что по основанию 10 последний знак центрированных шестиугольных чисел имеют последовательность 1-7-9-7-1. Сумма первых n центрированных шестиугольных чисел равна n3. Таким образом, центрированные шестиугольные пирамидальные числа и кубы являются те ми числами, но представляют различные (геометрические) формы. С другой стороны, центрированные шестиугольные числа – это разность двух соседних кубов, так что центрированные шестиугольные числа - это фигурное представление кубов. Также, простые центрированные шестиугольные числа есть кубические простые числа. Также (2n)^2 - C_{6,n} = 3n^2 + 3n - 1.

Центрированные семиугольные числа[править | править исходный текст]

Centered heptagonal number.svg

Центрированное семиугольное число — это центрированное фигурное число, которое представляет семиугольник с точкой в середине и все окружающие точки лежат на семиугольных слоях. Центрированное семиугольное число задается формулой \frac{7n^2-7n+2}{2}. Его можно также вычислить умножением треугольного числа (n - 1) на 7, затем добавив 1. Несколько первых центрированных семиугольных чисел:

1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, 547, 638, 736, 841, 953, ..., \frac{7n^2-7n+2}{2}, ... (последовательность A069099 в OEIS)

Четность центрированных семиугольных чисел меняется по правилу нечетный-четный-нечетный-четный.

Центрированные семиугольные простые числа[править | править исходный текст]

Центрированные семиугольные простые — это центрированные семиугольные числа, являющиеся простыми. Несколько первых центрированных семиугольных простых:

43, 71, 197, 463, 547, 953, 1471, 1933, 2647, 2843, 3697, ... (последовательность A144974 в OEIS)

и центрированных семиугольных простых простых-близнецов:

43, 71, 197, 463, 1933, 5741, 8233, 9283, 11173, 14561, 34651, ... (последовательность A144975 в OEIS)

Центрированные восьмиугольные числа[править | править исходный текст]

Centered octagonal number.svg

Центрированное восьмиугольное число – это центрированное фигурное число, которое представляет восьмиугольник с точкой в середине и все окружающие точки лежат на восьмиугольных слоях. Центрированное восьмиугольное число задается формулой (2n-1)^2=4n^2-4n+1. Несколько первых центрированных восьмиугольных чисел:

1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961, 1089.

Все центрированные восьмиугольные числа нечетны, и по модулю 10 имеют последовательность остатков 1-9-5-9-1. Нечетное число является центрированным восьмиугольным числом тогда и только тогда, когда оно является квадратом целого числа.

Центрированные девятиугольные числа[править | править исходный текст]

Центрированное девятиугольное число — это центрированное фигурное число, которое представляет девятиугольник с точкой в середине и все окружающие точки лежат на девятиугольных слоях. Умножая (n — 1)-ое треугольное число на 9 и добавляя 1 получим n-ое центрированное девятиугольное число, но имеется и более простая связь с треугольными числами — каждое третье треугольное число (1-ое, 4-ое, 7-ое, и т. д.) также центрированное девятиугольное число. Первые несколько центрированных девятиугольных чисел:

1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703, 820, 946, ... (последовательность A060544 в OEIS)

За исключением 6, все четные совершенные числа являются также центрированными девятиугольными числами. В 1850-м году, Поллок высказал предположение, что любое натуральное есть сумма максимум одиннадцати центрированных девятиугольных чисел, которое ни доказано ни опровергнуто.

Центрированные десятиугольные числа[править | править исходный текст]

Centered nonagonal number.svg

Центрированное десятиугольное число — это центрированное фигурное число, которое представляет десятиугольник с точкой в середине и все окружающие точки лежат на десятиугольных слоях. Центрированное десятиугольное число задается формулой 5(n^2-n)+1. Первые несколько центрированных десятиугольных чисел:

1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, 781, 911, 1051, …, 5(n^2-n)+1, ... (последовательность A062786 в OEIS)

Подобно другим k-угольным числам, n-ое центрированное десятиугольное число можно вычислить, умножая (n − 1)-ое треугольное число на k, в нашем случае 10, затем добавляя 1. Как следствие, центрированные десятиугольные числа могут быть получены просто добавлением 1 к десятичному представлению числа. Таким образом, все центрированные десятиугольные числа нечётны и всегда оканчиваются на 1 в десятичном представлении. Заметьте, что следующие совершенные числа встречаются в списке:

3-е центрированное девятиугольное число есть 7 x 8 / 2 = 28, и 11-ое есть 31 x 32 / 2 = 496.
Далее: 43-ое есть 127 x 128 / 2 = 8128, и 2731-ое есть 8191 x 8192 / 2 = 33,550,336.
За исключением 6, все четные совершенные числа являются также центрированными девятиугольными числами, по формуле
Nc\left(\frac{2^p+1}{3}\right) = 2^{p-1}(2^p-1), где 2p−1 — простые числа Мерсена.



Центрированные десятиугольные простые числа[править | править исходный текст]

Центрированные десятиугольные простые — это центрированное десятиугольное число, которое является простым. Несколько первых центрированных десятиугольных простых:

11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1901, 2311, 2531, 3001, 3251, 3511, 4651, 5281, …. (последовательность A090562 в OEIS)

Многомерные фигурные числа[править | править исходный текст]

Можно определить многомерные фигурные числа, частными случаями которых являются:

  • Трёхмерные правильные фигурные числа:
    P^3_n=n+(e-2)\frac{n(n-1)}{2}+(f-m)(k-2)\frac{n(n-1)(n-2)}{6},
где e — число вершин многогранника, f — число его граней, k — число сторон каждой грани, m — число граней, примыкающих к каждой вершине. Примеры: последовательности A006566, A006564, A005900.
  • Четырехмерные правильные фигурные числа:
    P^4_n=n+(E-2)\frac{n(n-1)}{2}+(G-\frac{m_f}{2})(f-m)(k-2)\frac{n(n-1)(n-2)}{6}+(G-m_f)(f-m)(k-2)\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24},
где E — число вершин, G — число граней m_f — число многогранных углов вершины. Примеры: последовательности A092182, A092181, A092183.

Трёхмерные правильные фигурные числа[править | править исходный текст]

Тетраэдрические числа[править | править исходный текст]

Тетраэдр с длиной стороны 5 содержит 35 сфер. Каждый слой представляет одно из первых пяти треугольных чисел.

Тетраэдрические числа — это фигурные числа, которые представляют пирамиду, в основании которой лежит треугольник. Пример нескольких первых тетраэдрических чисел:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … (последовательность A000292 в OEIS)
Формула[править | править исходный текст]

Формула для тетраэдрического числа:

\frac{n(n+1)(n+2)}{6}
Свойства[править | править исходный текст]

Тетраэдрические числа находятся на 4-ой позиции в треугольнике Паскаля. n-е тетраэдрическое число представляет собой сумму первых n треугольных чисел. Только три тетраэдрических числа являются квадратными числами:

12=1, 2² = 4, 140² = 19600

Пять чисел являются треугольными (последовательность A027568 в OEIS):

1, 10, 120, 1540, 7140

Можно заметить, что:

T5=T4+T3+T2+T1.

Квадратные пирамидальные числа[править | править исходный текст]

Геометическое представление квадратного пирамидального числа: 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

В математике пирамида́льное число́ или квадра́тное пирамида́льное число́ — фигурное число, представляющее собой количество сложенных сфер в пирамиде с квадратным основанием. Квадратные пирамидальные числа также выражают количество квадратов в сетке N × N. Квадратные пирамидальные числа образуют последовательность:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, … (последовательность A000330 в OEIS)
Формула[править | править исходный текст]

Квадратные пирамидальные числа могут быть вычислены по формуле:

\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}

Исторический очерк[править | править исходный текст]

Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Поэтому их изучением занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский и другие. Гипсикл (II век до н. э.) дал общее определение m-угольного числа P_n как суммы n членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна m-2. Диофант написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней. О фигурных числах много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским (II век), которые установили ряд зависимостей между фигурными числами разных размерностей. Большой интерес к фигурным числам проявили индийские математики и первые математики средневековой Европы (Фибоначчи, Пачоли, Кардано и др.).

В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Валлис, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. Ферма сформулировал (1637) так называемую «золотую теорему»:

  • Всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел;
  • Всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел (Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов);
  • Всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел:
  • и т. д.

Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полное доказательство сумел дать Коши в 1813 году.[2]

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Арифметический ряд // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1.
  2. Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975. — С. 10-11. — 208 с.

Литература[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]