Фигурные числа

Фигу́рные чи́сла — общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: «Возвести число в квадрат или в куб».

Виды фигурных чисел

Различают следующие виды фигурных чисел:

• Линейные числа — числа, не разлагающиеся на сомножители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей:

  1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … (последовательность A008578 в OEIS)

• Плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, то есть составные:

  4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, … (последовательность A002808 в OEIS)

• Телесные числа — числа, представимые произведением трёх сомножителей:

  8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, … (последовательность A033942 в OEIS)

• Многоугольные числа

Многоугольные числа

n-е по порядку m-угольное число P_n можно определить как сумму n членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна m − 2. Например, треугольные числа получаются как частичные суммы ряда $1+2+3+4 \dots$.

Треугольные числа

Последовательность треугольных чисел:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …, $\frac{n(n+1)}{2}$, … (последовательность A000217 в OEIS)

Свойства:

• Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат (квадратное число).
• Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.

Квадратные числа

1	4	9

Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …, n², … (последовательность A000290 в OEIS)

Пятиугольные числа

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, …, $\frac{n(3n-1)}{2}$, … (последовательность A000326 в OEIS)

Шестиугольные числа

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, …, 2n² − n, … последовательность A000384 в OEIS

Общий случай

Последовательность k-угольных чисел:

1, k, 3k-3, 6k-8, 10k-15, 15k-24, 21k-35, 28k-48, 36k-63, 45k-80, …, $n + (k - 2)\frac{n(n-1)}{2}$, …

Эквивалентный формат представления n-го элемента: $\frac{n((k - 2)(n-1)+2)}{2}$.

Многомерные фигурные числа

Можно определить многомерные фигурные числа,^{[источник не указан 370 дней]} частными случаями которых являются:

• Изоэдральные многомерные фигурные числа. Пример: последовательность A081436 в OEIS.

• Элементарные многомерные фигурные числа:
  • Гиперкубические: $A^k_n=n^k$
  • Симплексные: $P^k_n=\frac{(n-1+k)!}{(n-1)!k!}$
  • Гипероктаэдрные: $T^k_n=T^{k-1}_n+T^k_{n-1}+T^{k-1}_{n-1}$, где $T^1_n=n$. Пример: последовательность A014820 в OEIS.

• Трехмерные правильные фигурные числа:

  $P^3_n=n+(e-2)\frac{n(n-1)}{2}+(f-m)(k-2)\frac{n(n-1)(n-2)}{6},$

где e — число вершин многогранника, f — число его граней, k — число сторон каждой грани, m — число граней, примыкающих к каждой вершине. Примеры: последовательности A006566, A006564, A005900.

• Четырехмерные правильные фигурные числа:

  $P^4_n=n+(E-2)\frac{n(n-1)}{2}+(G-\frac{m_f}{2})(f-m)(k-2)\frac{n(n-1)(n-2)}{6}+(G-m_f)(f-m)(k-2)\frac{n(n-1)(n-2)(n-4)}{24},$

где E — число вершин, G — число граней m_f — число многогранных углов вершины. Примеры: последовательности A092182, A092181, A092183.

Исторический очерк

Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Поэтому их изучением занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский и другие. Гипсикл (II век до н. э.) дал общее определение m-угольного числа P_n как суммы n членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна m − 2. Диофант написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней. О фигурных числах много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским (II век), установившие ряд зависимостей между фигурными числами разных размерностей. Большой интерес к фигурным числам проявили индийские математики и первые математики средневековой Европы (Фибоначчи, Пачоли, Кардано и др.).

В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Валлис, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. Ферма сформулировал (1637) так называемую «золотую теорему»:

• Всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел;
• Всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел (Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов);
• Всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел:
• и т. д.

Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полное доказательство сумел дать Коши в 1813 году.

См. также

• Последовательность

Литература

• Глейзер Г. И. История математики в школе — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд.второе. — М.: Просвещение, 1965. — С. 150—155.
• Матвиевская Г. П. Заметки о многоугольных числах в записных книжках Эйлера. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1983. — № 27. — С. 27-49.
• Серпинский В. Пифагоровы треугольники — М.: Учпедгиз, 1959. — 111 с.
• Стиллвелл Д. Глава 3 // Математика и ее история — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.