Диофантово уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Диофа́нтово уравнение или уравнение в целых числах — это уравнение с целыми коэффициентами и неизвестными, которые могут принимать только целые значения. Названы в честь древнегреческого математика Диофанта.

Содержание 1 Линейные диофантовы уравнения 2 Некоторые другие уравнения 3 Неразрешимость в общем виде 4 См. также

[править] Линейные диофантовы уравнения

Общий вид линейного диофантова уравнения: . В литературе под диофантовыми уравнениями иногда понимаются также уравнения более частного вида — с двумя неизвестными:

которые достаточно хорошо изучены.

Если (то есть c не делится нацело на НОД), то уравнение (1) не разрешимо в целых числах. В самом деле, в этом случае , но тогда число, стоящее слева в (1) делится на , а стоящее справа — нет. Если в уравнении ax + by = 1 , то оно разрешимо в целых числах.

Пусть — решение уравнения ax + by = c. Тогда все его решения находятся по следующим формулам:

x = x₀ − bn, y = y₀ + an, .

Начальное (базисное) решение можно построить таким образом. Если , то (если уравнение имеет решения) c делится на (a, b) в силу вышесказанного. Тогда уравнение сводится к виду a₁x + b₁y = c₁ путем деления всех коэффициентов на (a,b). Для уравнения ax + by = c с (a,b) = 1 базисное решение получается из соотношения Безу для a, b:

ua + vb = 1,

исходя из которого, можно положить

[править] Некоторые другие уравнения

• xⁿ + yⁿ = zⁿ:
  • При n = 2 решениями этого уравнения являются пифагоровы тройки
  • Великая теорема Ферма утверждает, что это уравнение не имеет положительных целых решений при n > 2.
• x² − ny² = 1, где n не является точным квадратом — уравнение Пелля
• x^z − y^t = 1, где z,t > 1, — уравнение Каталана
• при и — уравнение Туэ

[править] Неразрешимость в общем виде

Десятая проблема Гильберта, сформулированная в 1900 г., состоит в нахождении алгоритма решения произвольных диофантовых уравнений. В 1970 г. Юрий Матиясевич доказал алгоритмическую неразрешимость этой проблемы.

[править] См. также

• Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. — М.: Наука, 1978. — (Популярные лекции по математике).
• В. Н. Серпинский О решении уравнений в целых числах. — М.: Физматлит, 1961. — 88 с.

Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.