Число Лефшеца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Число Лефшеца — определённая целочисленная характеристика отображения топологического пространства в себя.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть X — топологическое пространство, f:X\to X — непрерывное отображение, H_*(X,k) — группы гомологий X с коэффициентами в поле k. Пусть t_n — след линейного преобразования

f_*:H_n(X,k)\to H_n(X,k)

По определению, число Лефшеца отображения f есть

\Lambda(f,X)=\sum_{i=0}^\infty(-1)^nt_n

Свойства[править | править вики-текст]

  • Число Лефшеца определено если общий ранг групп H_*(X,k) конечен, и в этом случае не зависит от выбора k.

Формула Лефшеца[править | править вики-текст]

Пусть X — связное ориентируемое n-мерное компактное топологическое многообразие или n-мерный конечный клеточный комплекс, f : X \to X — непрерывное отображение.

Предположим, что все неподвижные точки отображения f : X \to X изолированы.

Для каждой неподвижной точки x\in X, обозначим через i(x) её индекс Кронекера (локальная степень отображения f в окрестности точки x). Тогда формула Лефшеца для X и f имеет вид

\sum_{\{x|f(x)=x\}}i(x)=\Lambda(f,X).
  • В частности, если отображение конечного клеточного комплекса не имеет неподвижных точек, то его число Лефшеца равно нулю.

История[править | править вики-текст]

Эта формула была установлена впервые Лефшецем для конечномерных ориентируемых топологических многообразий и позже для конечных клеточных комплексов. Этим работам Лефшеца предшествовала работа Брауэра 1911 о неподвижной точке непрерывного отображения n-мерной сферы в себя.