Гомология (топология)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Гомология (значения).

Гомоло́гия — одно из основных понятий алгебраической топологии. Даёт возможность строить алгебраический объект (группу или кольцо) который является топологическим инвариантом пространства.

Простейший пример: на поверхности, замкнутая линия гомологична нулю, если она ограничивает кусок поверхности, который отделяется от неё, если мы произведём разрез по этой линии. Например, на сфере любая замкнутая линия является таковой, а на торе, хотя и сущeствуют гомологичные нулю замкнутые линии, но разрез по меридиану или параллели не приведет к отделению куска поверхности. Ниже мы рассмотрим более общие и строгие определения этого понятия.

Содержание

1 Симплициальные гомологии
2 Сингулярные гомологии
- 2.1 Пример
- 2.2 История
3 Гомологии с коэффициентами в произвольных группах
4 Когомологии
5 Относительные гомологии и точная гомологическая последовательность
6 Аксиомы Стинрода — Эйленберга
7 Экстраординарные гомологии
8 Литература
9 См. также

[править] Симплициальные гомологии

Симплициальные гомологии определяются наиболее просто. Вначале определим некоторые понятия.

[править] Симплексы и компле́ксы

Симплексом размерности $k$ будем называть выпуклую оболочку точек $\langle a_0, a_1,...~a_k\rangle$ , таких, которые не лежат в каком-нибудь $(k - 1)$ —мерном подпространстве. 0-мерный симплекс $\langle a_0\rangle$ является точкой, 1-мерный $\langle a_0, a_1\rangle$ отрезком, 2-мерный $\langle a_0, a_1, a_2\rangle$ треугольником, 3-мерный $\langle a_0, a_1, a_2, a_3\rangle$ тетраэдром и т. д. Симплекс, порождённый частью точек $\langle a_i\rangle$ , называется гранью симплекса.

Далее вводится понятие симплициального компле́кса (с ударением на е). Компле́ксом $K$ называется множество симплексов, причём с любым из которых в комплекс входят все его грани и любые два симплекса либо вообще не имеют общей точки, либо они пересекаются только по целой грани какой-то размерности, причем только по одной грани. Обычно требуют ещё, чтобы любая точка комплекса имела окрестность, пересекающуюся не более чем с конечным числом симплексов (т. н. локальная конечность).

[править] Цепи комплексов

Мы будем рассматривать градуированную абелеву группу с целочисленными коэффициентами, порождённую симплексами комплекса, т. н. группу цепей $C (K)$ , являющуюся прямой суммой групп цепей размерности $k:\; C_k(K)$ . Симплексы считаем имеющими ориентацию и симплекс $\langle a_0, a_1,...~a_k\rangle$ будем считать равным $\langle a_{\sigma(0)}, a_{\sigma(1)},...~a_{\sigma(k)}\rangle$ , если перестановка $σ$ чётная и имеющим противоположный знак, если она нечётная.

[править] Грани цепи

Определим оператор взятия $i$ -й грани:

$\langle a_0,...~a_i,...~a_k\rangle\to (-1)^i\langle a_0,...~\hat{a_i},...~a_k\rangle$ , где $\hat{a_i}$ означает, что $i$ -я вершина должна быть пропущена.

Этот оператор зависит только от самого симплекса, а не фиксированного порядка вершин. Для этого достаточно доказать, что оператор взятия $i$ -й грани не изменится при перестановке двух вершин (транспозиции). Если эта транспозиция не затрагивает $a i$ , то это очевидно. Если она переставляет $a i$ на $j$ -е место, то имеем (пусть, например, $j < i$ ):

$\begin{matrix}\langle a_0,...~a_j,...~a_i,...~a_k\rangle = -\langle a_0,...~a_i,...~a_j,...~a_k\rangle \to -(-1)^j\langle a_0,...~\hat{a_i},...~a_{i-1},~a_j,...~a_k\rangle = \\ = -(-1)^j(-1)^{i-j-1}\langle a_0,...a_j,...~a_{i-1},\hat{a_i}...~a_k\rangle = (-1)^i\langle a_0,...~a_j,...~\hat{a_i},...~a_k\rangle\end{matrix}$

— что и ожидалось (возвращая $\hat{a_i}$ на старое место, надо сделать $i - j + 1$ транспозицию, соответственно столько же раз поменять знак).

Определим оператор ориентированной границы симплекса следующим образом:

$\partial_k\langle a_0,...~a_k\rangle=\sum(-1)^i\langle a_0,...~\hat{a_i},...~a_k\rangle$

Независимость этого определения относительно перестановок вершин уже доказана, поэтому это определение строго. Взятие граничного оператора понижает размерность на 1. Для 0-мерного симплекса (точки) $A$ считаем $\partial{A}=0$ . По линейности распространим оператор $\partial$ на любую цепь. Основным свойством граничного оператора является следующее:

$\partial_{k-1}\partial_k=0$

В результате применения $\partial_{k-1}\partial_k$ к симплексу $\langle a_0, a_1,...~a_k\rangle$ результатом будет цепь симплексов с двумя выброшенными вершинами. Предположим, что $j < i$ . Симплекс $\langle a_0,...~\hat{a_j},...~\hat{a_i},...~a_k\rangle$ входит в результат первого действия оператора $(-1)^i \partial\langle \hat{a_i}\rangle$ со знаком $( - 1) i + j$ , а в $(-1)^j \partial\langle \hat{a_j}\rangle$ со знаком $( - 1) i + j - 1$ , так как по удалению $\hat{a_j}$ вершина $\hat{a_i}$ будет уже не на $i$ —ом месте, а на $(i - 1)$ —ом. Эти знаки противоположны, значит $\partial_{k-1}\partial_k$ будет равен нулю для любого симплекса, а по линейности - для любой цепи.

[править] Симплициальные гомологии на комплексах и полиэдрах

Полиэдром (в широком смысле) называется множество, гомеоморфное комплексу. Этот гомеоморфизм называется триангуляцией. На комплексах и полиэдрах вводятся симплициальные гомологии следующим образом:

Рассмотрим группу цепей размерности $k$ из симплексов нашего комплекса $K$ , обозначаемую $C k (K)$ .

Цепь $c$ , на которой значение граничного оператора $\partial_k c=0$ равно нулю (иначе говоря, $c \in \operatorname{Ker}\; \partial_k$ ) называется циклом; их множество обозначим $Z k (K)$ .

Если для некоторой цепи $c'$ выполняется $c=\partial_{k+1}c'$ (иначе говоря, $c \in \operatorname{Im}\; \partial_{k+1}$ ), то цепь $c$ называется границей; множество границ обозначим $B k (K)$ . Так как оператор $\partial$ линеен, то и границы, и циклы образуют подгруппы группы цепей. Из того, что $\partial\partial=0$ ясно, что любая граница является циклом, то есть, $B_k\subseteq Z_k$ .

Две цепи называются гомологичными, если они отличаются на границу.Это записывается $x\sim y$ (то есть $x=y+\partial z$ ).

Фактор-группа $H_k=Z_k(K)/B_k(K)=\operatorname{Ker}\;\partial_k/ \operatorname{Im}\;\partial_{k+1}$ называется группой k-мерных симплициальных гомологий комплекса.

[править] Пример

Пусть $S 1$ - одномерный комплекс, являющийся границей двумерного симплекса (треугольника) $\langle a_0, a_1, a_2\rangle$ . Найдём его гомологии.

$B 1 = 0$ , так как в комплексе двумерных симплексов нет. Поэтому $H 1 = Z 1 / B 1 = B 1$ . Узнаем теперь, когда одномерная цепь может быть циклом.

Возьмём произвольную цепь $c=x\langle a_0, a_1\rangle + y\langle a_1,a_2\rangle + z\langle a_2,a_0\rangle$ . Имеем:

$\partial c=(z-x)\langle a_0\rangle + (x-y)\langle a_1\rangle + (y-z)\langle a_2\rangle=0$ .

Значит, $z-x=x-y=y-z=0;\quad x=y=z$ . Поэтому любой одномерный цикл $c$ имеет вид

$x(\langle a_0, a_1\rangle + \langle a_1, a_2 \rangle + \langle a_2, a_0 \rangle)$

— значит $H 1 = Z 1$ есть просто бесконечная циклическая группа $\mathbb{Z}$ .

Найдём нульмерные гомологии. Так как $\partial_0=0$ , то $Z 0 = C 0$ . Из равенства $\partial\langle a_0, a_1\rangle=\langle a_1\rangle-\langle a_0\rangle$ следует, что $\langle a_1\rangle$ и $\langle a_0\rangle$ отличаются на границу. Аналогично $\langle a_1\rangle$ и $\langle a_2\rangle$ отличаются на границу, поэтому с точностью до границы любая нульмерная цепь имеет вид $t\langle a_0\rangle$ . То есть, $C 0$ является просто бесконечной циклической группой $\mathbb{Z}$ . Если она сама является границей, то есть $t\langle a_0\rangle=\partial c=(z-x)\langle a_0\rangle + (x-y)\langle a_1\rangle + (y-z)\langle a_2\rangle$ , то имеем, что $x-y=y-z=0;\quad x=y=z;\quad t=z-x=0$ , поэтому $B 0 = 0$ и $H_0=C_0/B_0=\mathbb{Z}$ .

Итого, для границы двумерного симплекса $H_0=H_1=\mathbb{Z}$ .

[править] Некоторые свойства гомологий

Если гомологии комплекса $K$ определены, то они же считаются гомологиями полиэдра $| K |$ , соответствующего этому комплексу. Тут возникает проблема — данный полиэдр можно триангулировать по-разному. Однако можно доказать что непрерывному отображению полиэдров $f:|K|\to|L|$ сооветствует гомоморфизм $f_*:H_k(K)\to H_k(L)$ , причём это соответствие, как говорят, функториально, то есть произведению непрерывных отображений соответствует произведение гомоморфизмов групп гомологий $(f g) * = f * g *$ , а тождественному отображению соответствует тождественный гомоморфизм $(i d) * = i d *$ . Из этого следует, что группа гомологий полиэдра полностью определяется им самим.

Если комплекс состоит из конечного числа симплексов, то группа гомологий будет иметь конечное число образующих. В этом случае она представляется в виде прямой суммы нескольких экземпляров группы целых чисел $\mathbb{Z}$ (их число, то есть ранг группы гомологий называется числом Бетти) и конечных циклических групп $\mathbb{Z}_{a_0}, \mathbb{Z}_{a_1},...~\mathbb{Z}_{a_i},...~\mathbb{Z}_{a_k}$ где каждое $a i$ является делителем $a i - 1$ (эти числа называются коэффициентами кручения). Число Бетти и коэффициенты кручения определяются однозначно. Первоначально А.Пуанкаре как раз их и ввёл для характеристики топологических свойств. Э.Нётер показала важность перехода к изучению самих групп гомологий.

[править] Сингулярные гомологии

Симплициальные гомологии были даны только для полиэдров, причём доказательство их инвариантности и функториальности довольно сложно. Сингулярные гомологии вводятся так, что их инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными.

Пусть $X$ — любое топологическое пространство. Сингулярный симплекс размерности $k$ — это пара $(Δ k, f)$ где $Δ k$ — это стандартный симплекс $\langle a_0,a_1,...~a_k\rangle$ , а $f$ — его непрерывное отображение в $X$ ; $f : \Delta^k\to X$ . Группу сингулярных цепей определим как множество формальных линейных комбинаций:

c_k =	∑	z_i(Δ^k,f_i)
	i

с целыми (обычно их полагают также ограниченными) коэффициентами $z i$ . При этом для линейного отображения $s_\pi:\Delta^k\to\Delta_k$ определяемого перестановкой $π$ точек $(a_0,a_1,...~a_k)$ полагают $(\Delta^k,f)=(-1)^\pi(\Delta^k,f\circ s_\pi)$ . Граничный оператор $\partial$ определяется на сингулярном симплексе $(Δ k, f)$ так:

$\partial(\Delta_k,f)=\sum_i (-1)^i(\Delta_{k-1},f_i),$

где $Δ k - 1$ стандартный $(k - 1)$ -мерный симплекс, а $f_i=f\circ\epsilon_i$ , где $ε i$ — это его отображение на $i$ -ю грань стандартного симплекса $\Delta^k (\langle a_0,...~\hat{a_i},...~a_k\rangle)$ . Аналогично симплициальным гомологиям доказывается что $\partial\partial=0$ . Как и раньше вводятся понятия сингулярных циклов — таких цепей $c k$ , что $\partial{c_k}=0$ , и границ — цепей $c_k=\partial{c_{k+1}}$ для некоторого $c k + 1$ . Фактор-группа группы циклов по группе границ $H k = Z k / B k$ называется группой сингулярных гомологий.

[править] Пример

Найдём, к примеру, сингулярные гомологии пространства из одной точки $X = *$ . Для каждой размерности существует только одно-единственное отображение $f^k:\Delta^k\to *$ . Граница симплекса $\partial_k(\Delta^k,f^k)=\sum(-1)^i(\Delta^{k-1},f^k_i)$ , где все $f^k_i$ равны, так как отображают симплекс в одну точку (обозначим $f k - 1$ ). Значит:

$\partial(\Delta^k,f^k)=0$ , если

k

нечетно (число членов в сумме четно, а знаки чередуются);

$\partial(\Delta^k,f^k)=(\Delta^{k-1},f^{k-1})$ , если $k\not=0$ и четно;

$\partial(\Delta^k,f^k)=0$ , если

k = 0

.

Отсюда получаем для нулевой размерности: $Z_0=C_0=\mathbb{Z};\quad B_0=0;\quad H_0=\mathbb{Z}$ .

Для нечётной размерности $k=2n-1: Z_k=C_k=\mathbb{Z};\quad B_k=\mathbb{Z};\quad H_k=0$ .

Для чётной размерности $k=2n\not=0: Z_k=0;\quad B_k=0;\quad H_k=0$ .

То есть группа гомологий равна $\mathbb{Z}$ для нулевой размерности и равна нулю для всех положительных размерностей.

Можно доказать, что на множестве полиэдров сингулярные гомологии совпадают с ранее определенными симплициальными.

[править] История

Сингулярные гомологии были введены Лефшецом.

[править] Гомологии с коэффициентами в произвольных группах

Можно определять гомологии, позволяя коэффициентам при симплексах в цепях быть элементами любой абелевой группы $G$ . Группы гомологий (симплициальные, сингулярные и т. д.) пространства $X$ с коэффициентами в группе $G$ обозначаются $H k (X, G)$ . Обычно применяют группу действительных чисел $\mathbb{R}$ , рациональных чисел $\mathbb{Q}$ , или циклическую группу вычетов по модулю $m$ — $\mathbb{Z}_m$ , причём обычно берётся $m = p$ — простое число, тогда $\mathbb{Z}_p$ является полем.

[править] Когомологии

Кроме цепей можно ввести понятие коцепей — линейных форм на цепях со значением в группе $G$ для каждой размерности $k$ . То есть, пространство коцепей $C^k(X)=\operatorname{Hom}(C_k(X),G)$ .

Граничный оператор $\delta^k:C^k\to C^{k+1}$ определяется по формуле: $(δ k x)(c) = x (d k + 1 c)$ (где $x\in C^k,\; c\in C_{k+1}$ ). Для такого граничного оператора также выполняется

δ k + 1 δ k = 0

, а именно

(δ k + 1 δ k (x))(c) = δ k x (d k + 2 c) = x (d k + 1 d k + 2 c) = x (0) = 0

.

Поэтому аналогично тому, что было сказано выше, можно ввести понятия коциклов $Z k (X, G) = K e r δ k$ , кограниц $B^k(X,G)=\operatorname{Im} \delta^{k-1}$ и когомологий $H k (X, G) = Z k (X, G) / B k (X, G)$ . Понятие когомологии двойственно понятию гомологии. Если $G$ — кольцо, то в группе когомологий $H * (X, G)$ определено естественное умножение (произведение Колмогорова — Александера или $\cup$ -npоизведение), превращающее эту группу в градуированное кольцо, называемое кольцо когомологий. В случае, когда $X$ — дифференцируемое многообразие, кольцо когомологий $H^*(X,\mathbb{R})$ может быть вычислено при помощи дифференциальных форм на $X$ (см. теорема де Рама). Понятие когомологии было введено Александером и Колмогоровым.

[править] Относительные гомологии и точная гомологическая последовательность

Возьмём случай двух топологических пространств $Y\sub X$ . Группа цепей $C_k(Y)\sub C_k(X)$ (цепи могут быть как с целочисленными коэффициентами, так и с коэффициентами в любой группе $G$ ). Относительными цепями будут называться элементы факторгруппы $C k (X, Y) = C k (X) / C k (Y)$ . Так как граничный оператор $d$ на группе гомологий подпространства $Y$ переводит $d_k\colon C_k(Y)\to C_{k-1}(Y)$ , то можно определить на факторгруппе $C k (X, Y)$ граничный оператор (мы его обозначим так же) $d_k\colon C_k(X,Y)\to C_{k-1}(X,Y)$ .

Те относительные цепи, которые он переводит в $0$ будут называться относительными циклами $Z k (X, Y)$ , а цепи, которые являются его значениями — относительными границами $B k (X, Y)$ . Так как $d d = 0$ на абсолютных цепях, то это же будет верно для относительных, отсюда $B_k(X,Y)\sub Z_k(X,Y)$ . Факторгруппа $H k (X, Y) = Z k (X, Y) / B k (X, Y)$ называется группой относительных гомологий.

Так как каждый абсолютный цикл в $H k (X)$ является также и относительным то имеем гомоморфизм $j_k:H_k(X)\to H_k(X,Y)$ По функториальному свойству вложение $i_k:Y\to X$ приводит к гомоморфизму $i_*:H_k(Y)\to H_k(X)$ .

В свою очередь можно построить гомоморфизм $d_{* k}:H_k(X,Y)\to H_{k-1}(Y)$ , который мы определим следующим образом. Пусть $c_k\in C_k(X,Y)$ — относительная цепь, которая определяет цикл из $H k (X, Y)$ . Рассмотрим её как абсолютную цепь в $C k (X)$ (с точностью до элементов $C k (Y)$ ). Так как это относительный цикл, то $d k c$ будет равен нулю с точностью до некоторой цепи $c_{k-1}\in C_{k-1}(Y)$ . Положим $d * k$ равным классу гомологий цепи $c_{k-1}=d_k c \in Z_{k-1}(Y)$ .

Если мы возьмём другую абсолютную цепь $c'_k\in C_k(X)$ , определяющую тот же относительный цикл, то мы будем иметь $c = c' + u$ , где $u\in C_k(Y)$ . Имеем $d k c = d k c' + d k u$ , но так как $d k u$ является границей в $Z k - 1 (Y)$ то $d k c$ и $d k c'$ определяют один и тот же элемент в группе гомологий $H k - 1 (Y)$ . Если взять другой относительный цикл $c''$ , дающий тот же элемент в группе относительных гомологий $c = c'' + b$ , где $b$ — относительная граница, то в силу того, что $b$ граница для относительных гомологий $b = d k + 1 x + v$ , где $v\in C_k(Y)$ , отсюда $d k c = d k c'' + d k d k + 1 x + d k v$ , но $d d = 0$ , а $d k v$ — граница в $Z k - 1 (Y)$ . Поэтому класс гомологий $d * k c k$ определен однозначно. Ясно по линейности оператора $d * k$ , что он является гомоморфизмом. Итак мы имеем гомоморфизмы:

$i_{* k}\colon H_k(Y)\to H_k(X)$ ;

$j_{* k}\colon H_k(X)\to H_k(X,Y)$ и

$d_{* k}\colon H_k(X,Y)\to H_{k-1}(Y)$ ;

$...\to H_k(Y)\to H_k(X)\to H_k(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to...$

Можно доказать, что эта последовательность точна, то есть образ любого гомоморфизма равен ядру следующего гомоморфизма.

[править] Аксиомы Стинрода — Эйленберга

Помимо уже известных нам симплициальных и сингулярных гомологий существуют ещё другие теории гомологий и когомологий, например клеточные гомологии, когомологии Чеха, когомологии де Рама и т. д. Стинрод и Эйленберг определили систему аксиом теории (ко)гомологий. Вначале они определяют т. н. допустимый класс пар $D$ топологических пространств, удовлетворяющий следующим свойствам:

Если $(X,Y)\in D,$ то $(X,X)\in D,$ $(X,\varnothing)\in D,$ $(Y,Y)\in D$ и $(Y,\varnothing)\in D.$
Если $(X,Y)\in D,$ , то и $(X\times I,Y\times I)\in D,$ где $I$ — замкнутый интервал [0,1].
$(*,\varnothing)\in D,$ где $*$ — одноточечное пространство.

В теории гомологий по Стинроду — Эйленбергу каждой допустимой паре и любому целому числу k соответствует абелева группа $H k (X, Y)$ и непрерывному отображению пар $f\colon (X,Y)\to(X',Y')$ соответствует гомоморфизм $f_{*k}\colon H_k(X,Y) \to H_k(X',Y')$ (Пространство $X$ отождествляется с парой $(X,\varnothing)$ ), а $H k (X)$ с $H_k(X,\varnothing)$ ), причём выполняются следующие аксиомы:

Тождественному отображению пары $i d$ соответствует тождественный гомоморфизм $i d * k .$
$(g f) * k = g * k f * k$ (функториальность)
Определен граничный гомоморфизм $d_{*k}\colon H_k(X,Y) \to H_{k-1}(Y),$ причём если $f\colon (X,Y)\to(X',Y'),$ то для соответствующего гомоморфизма $f_{*k}\colon H_k(X,Y) \to H_k(X',Y')$ верно $d * k f * k = f * k - 1 d * k$ для любой размерности k.
Пусть $i\colon Y\to X$ и $j\colon X\to (X,Y)$ — вложения, $i_{*k}\colon H_k(Y)\to H_k(X)$ и $j_{*k}\colon H_k(X)\to H_k(X,Y)$ — соответствующие гомоморфизмы, $d_{*k}\colon H_k(X,Y)\to H_{k-1}(Y)$ — граничный гомоморфизм. Тогда определяемая ими последовательность
$\ldots \to H_k(Y) \to H_k(X) \to H_k(X,Y) \to H_{k-1}(Y) \to \ldots$
точна (аксиома точности).
Если отображения $f,g\colon (X,Y)\to(X',Y')$ гомотопны, то соответствующие гомоморфизмы равны $f * k = g * k$ для любой размерности $k$ (аксиома гомотопической инвариантности).
Пусть $U\sub X$ — открытое подмножество $X$ , причём его замыкание содержится во внутренности множества $Y,$ тогда если пары $(X\setminus U, Y\setminus U)$ и $(X, Y)$ принадлежат допустимому классу, то для любой размерности $k$ вложению $(X\setminus U, Y\setminus U) \hookrightarrow (X,Y)$ соответствует изоморфизм $H_k(X\setminus U, Y\setminus U) \simeq H_k(X,Y)$ (аксиома вырезания).
Для одноточечного пространства $H k ( * ) = 0$ для всех размерностей $k\geqslant 0$ . Абелева группа $G = H 0 ( * )$ называется группой коэффициентов (аксиома размерности).

Для сингулярных гомологий допустимый класс пар состоит из всех пар топологических пространств. Ранее определенные группы сингулярных гомологий с коэффициентами в группе $G$ их отображения и граничный гомоморфизм $d *$ удовлетворяют всем этим аксиомам. Если в качестве допустимого класса взять класс полиэдров, то можно доказать, что гомологии, определенные с помощью данной системы аксиом, совпадают с симплициальными.

Аналогично можно ввести систему аксиом для когомологий, которая полностью аналогична. Необходимо только иметь в виду, что отображению $f\colon (X,Y)\to(X',Y')$ соответствует $f^{*k}\colon H^k(X',Y') \to H^k(X,Y)$ (контравариантность) и что кограничный гомоморфизм $\delta^{*k}\colon H^{k-1}(Y) \to H^k(X,Y)$ увеличивает размерность.

[править] Экстраординарные гомологии

В системе аксиом Стинрода — Эйленберга аксиома размерности оказывается не столь важна, как остальные. Теории (ко)гомологий, которые могут иметь ненулевые группы (ко)гомологий одноточечного пространства для размерностей k>0, называются экстраординарными или обобщёнными. Наиболее важными экстраординарными теориями являются K-теория Атьи (надо отметить важный вклад в эту теорию Хирцебруха, Ботта и Адамса) и теория бордизмов Р.Тома.

[править] Литература

Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
Новиков П. С. Топология. — 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО, 2006
Свитцер Р. М. Алгебраическая топология. — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989

[править] См. также

Гомология (топология)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Симплициальные гомологии

[править] Симплексы и компле́ксы

[править] Цепи комплексов

[править] Грани цепи

[править] Симплициальные гомологии на комплексах и полиэдрах

[править] Пример

[править] Некоторые свойства гомологий

[править] Сингулярные гомологии

[править] Пример

[править] История

[править] Гомологии с коэффициентами в произвольных группах

[править] Когомологии

[править] Относительные гомологии и точная гомологическая последовательность

[править] Аксиомы Стинрода — Эйленберга

[править] Экстраординарные гомологии

[править] Литература

[править] См. также

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках