Эллиптический фильтр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Линейные электронные фильтры
Фильтр Баттерворта
Фильтр Чебышёва
Эллиптический фильтр
Фильтр Бесселя
Фильтр Гаусса
Фильтр Лежандра
Фильтр Габора
Править

Эллиптический фильтр (Фильтр Кауэра) — электронный фильтр, характерной особенностью которого является пульсации амплитудно-частотной характеристики как в полосе пропускания, так и полосе подавления. Величина пульсаций в каждой из полос независима друг от друга. Другой отличительной особенностью такого фильтра является очень крутой спад амплитудной характеристики, поэтому с помощью этого фильтра можно достигать более эффективного разделения частот, чем с помощью других линейных фильтров.

Если пульсации в полосе подавления равны нулю, то эллиптический фильтр становится фильтром Чебышёва I рода. Если пульсации равны нулю в полосе пропускания, то фильтр становится фильтром Чебышёва II рода. Если же пульсации отсутствуют на всей амплитудной характеристике, то фильтр становится фильтром Баттерворта.

Амплитудно-частотная характеристика эллиптического фильтра низких частот является функцией круговой частоты ω и задаётся следующим выражением:


G_n(\omega) = {1 \over \sqrt{1 + \epsilon^2 R_n^2(\xi,\omega/\omega_0)}}

где Rn — рациональная эллиптическая функция n-го порядка и

\omega_0 — частота среза
\epsilon — показатель пульсаций (англ. ripple factor)
\xi — показатель селективности (англ. selectivity factor)

Значение показателя пульсаций определяет пульсации в полосе пропускания, пульсации же в полосе подавления зависят как от показателя пульсаций, так и от показателя селективности.


Свойства[править | править исходный текст]

АЧХ эллиптического фильтра низких частот четвёртого порядка с ε=0,5 и ξ=1,05. Также показано минимальное усиление в полосе пропускания, максимальное усиление в полосе подавления и переходная зона между частотами (нормированными) 1 и ξ
Переходная зона (увеличено).
  • В полосе пропускания эллиптическая функция меняет значения от нуля до единицы. АЧХ в полосе пропускания, таким образом, варьирует от единицы до 1/\sqrt{1+\epsilon^2}.
  • В полосе подавления эллиптическая функция меняет значения от бесконечности до значения L_n, которое определяется как:
L_n=R_n(\xi,\xi)\,
АЧХ в полосе подавления, таким образом, меняет значения от нуля до 1/\sqrt{1+\epsilon^2L_n^2}.
G(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\alpha^2 T^2_n(1/\omega)}}}.


Полюсы и нули[править | править исходный текст]

Логарифм модуля АЧХ эллиптического фильтра 8 порядка на плоскости комплексной частоты (s=σ+jω) с ε=0,5, ξ=1,05 и \omega_0=1. Белые пятна — полюса, тёмные — нули. Всего на графике 16 полюсов и 8 нулей второго порядка. На графике чёрный цвет соответствует усилению менее 0,0001, а белый — усилению более 10.
Переходная зона фильтра (увеличено).

Нули модуля АЧХ совпадают с полюсами дробно-рациональной эллиптической функции.

Полюса эллиптического фильтра могут быть определены так же, как и полюса фильтра Чебышёва I рода. Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюса (\omega_{pm}) эллиптического фильтра будут нулями знаменателя амплитудной характеристики. Используя комплексную частоту s=\sigma+j\omega, получим:

1+\epsilon^2R_n^2(-js,\xi)=0\,

Пусть -js=\mathrm{cd}(w,1/\xi), где cd — эллиптическая косинус-функция Якоби. Тогда, используя определение эллиптической дробно-рациональной функции, получим:

1+\epsilon^2\mathrm{cd}^2\left(\frac{nwK_n}{K},\frac{1}{L_n}\right)=0\,

где K=K(1/\xi) and K_n=K(1/L_n). Разрешив относительно w

w=\frac{K}{nK_n}\mathrm{cd}^{-1}\left(\frac{\pm j}{\epsilon},\frac{1}{L_n}\right)+\frac{mK}{n},

где значения обратной cd-функции сделаны явными при помощи целого индекса m.

Полюса эллиптической функции в таком случае:

s_{pm}=i\,\mathrm{cd}(w,1/\xi).\,

Как и в случае многочленов Чебышёва, это можно выразить в явной комплексной форме [1]

s_{pm}=\frac{a+jb}{c},
a=-\zeta_n\sqrt{1-\zeta_n^2}\sqrt{1-x_m^2}\sqrt{1-x_m^2/\xi^2},
b=x_m\sqrt{1-\zeta_n^2(1-1/\xi^2)},
c=1-\zeta_n^2+x_i^2\zeta_n^2/\xi^2,

где \zeta_n — функция от n,\,\epsilon, а \xi и x_m — нули эллиптической функции. Функция \zeta_n определена для всех n в смысле эллиптической функции Якоби. Для порядков 1 и 2 имеем

\zeta_1=\frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}},
\zeta_2=\frac{2}{(1+t)\sqrt{1+\epsilon^2}+\sqrt{(1-t)^2+\epsilon^2(1+t)^2}},

где

t=\frac{1}{\sqrt{1-1/\xi^2}}.

Рекурсивные свойства эллиптических функций можно использовать для построения выражений более высокого порядка для \zeta_n:

\zeta_{m\cdot n}(\xi,\epsilon)=
\zeta_m\left(\xi,\sqrt{\frac{1}{\zeta_n^2(L_m,\epsilon)}-1}\right),

где L_m=R_m(\xi,\xi).

Эллиптические фильтры с минимальной добротностью[править | править исходный текст]

Нормированные добротности для полюсов эллиптического фильтра восьмого порядка с ξ=1,1 как функции показателя пульсаций ε. Каждая кривая представляет четыре полюса, так как комплексно сопряжённые и противоположные по знаку пары полюсов имеют одинаковую добротность. Добротность всех полюсов имеет минимум при εQmin=1/√Ln=0,02323…

См.[2] Эллиптические фильтры обычно определяются путём задания определённой величины пульсаций в полосе пропускания, полосе подавления и крутизной амплитудной характеристики. Эти характеристики являются определяющими для задания минимального порядка фильтра. Другой подход к проектирования эллиптического фильтра заключается в определении чувствительности амплитудной характеристики аналогового фильтра к значениям его электронных компонент. Эта чувствительность обратно пропорциональна специальному показателю (добротности) полюсов передаточной функции фильтра. Добротностью полюса определяется как:

Q =-\frac{|s_{pm}|}{2\mathrm{Re} (s_{pm})} = -\frac{1}{2\cos(\arg(s_{pm}))}

и является мерой влияния данного полюса на общую амплитудную характеристику. Для эллиптического фильтра заданного порядка существует связь между показателем пульсаций и фактором селективности, который минимизирует добротность всех полюсов передаточной функции:

\epsilon_{Qmin}=\frac{1}{\sqrt{L_n(\xi)}}

Это приводит к существованию фильтра, наименее чувствительного к изменению параметров компонент фильтра, однако при таком способе проектирования теряется возможность независимо назначать величину пульсаций в полосе пропускания и полосе подавления. Для таких фильтров при увеличении порядка пульсации как в полосе подавления, так и в полосе пропускания уменьшаются, а крутизна характеристики вокруг частоты среза увеличивается. При расчёте фильтра с минимальной добротностью необходимо учитывать, что порядок такого фильтра будет больше, чем при обычном методе расчёта. График модуля амплитудной характеристики будет выглядеть практически так же, как и раньше, однако полюса будут располагаться не по эллипсу, а по кругу, причём в отличие от фильтра Баттерворта, полюса которого также располагаются по кругу, расстояние между ними будет неодинаковым, а на мнимой оси будут располагаться нули.

Сравнение с другими линейными фильтрами[править | править исходный текст]

Ниже представлены графики амплитудно-частотных характеристик некоторых наиболее распространённых линейных электронных фильтров с одинаковым количеством коэффициентов:

Filter comparison.PNG

Как следует из графика эллиптический фильтр имеет наибольшую крутизну характеристики, однако он также обладает и значительными пульсациями как в полосе пропускания, так и в полосе подавления.

См. также[править | править исходный текст]


Библиография[править | править исходный текст]

  • В.А. Лукас Теория автоматического управления. — M.: Недра, 1990.
  • Б.Х. Кривицкий Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники. — М.: Энергия, 1977.
  • Miroslav D. Lutovac Filter Design for Signal Processing using MATLAB© and Mathematica©. — New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. — ISBN 0-201-36130-2
  • Richard W. Daniels Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1974. — ISBN 0-07-015308-6
  • Steven W. Smith The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. — Second Edition. — San-Diego: California Technical Publishing, 1999. — ISBN 0-9660176-4-1
  • Britton C. Rorabaugh Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1999. — ISBN 0-07-054004-7
  • B. Widrow, S.D. Stearns Adaptive Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. — ISBN 0-13-004029-0
  • S. Haykin Adaptive Filter Theory. — 4rd Edition. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. — ISBN 0-13-090126-1
  • Michael L. Honig, David G. Messerschmitt Adaptive Filters — Structures, Algorithms, and Applications. — Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. — ISBN 0-89838-163-0
  • J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Linear Prediction of Speech. — New York: Springer-Verlag, 1982. — ISBN 0-387-07563-1
  • L. R. Rabiner, R.W. Schafer Digital Processing of Speech Signals. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. — ISBN 0-13-213603-1
  • Richard J. Higgins Digital Signal Processing in VLSI. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. — ISBN 0-13-212887-X
  • A. V. Oppenheim, R. W. Schafer Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. — ISBN 0-13-214635-5
  • L. R. Rabiner, B. Gold Theory and Application of Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. — ISBN 0-13-914101-4
  • John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis Introduction to Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. — ISBN 0-02-396815-X

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Miroslav D. Lutovac § 12.8 // Filter Design for Signal Processing using MATLAB© and Mathematica©.
  2. Miroslav D. Lutovac § 12.11, § 13.14 // Filter Design for Signal Processing using MATLAB© and Mathematica©.

Ссылки[править | править исходный текст]